A Mathematical Bridge: An Intuitive Journey in Higher Mathematics

这波的书评写写 Stephen Fletcher Hewson 所著的 A Mathematical Bridge: An Intuitive Journey in Higher Mathematics（《数学桥：对高等数学的一次观赏之旅》）。

最早大概是在剑桥大学数学系公开的推荐书目中知道这本书的，原版是个600页的大部头，定位很微妙：比数学科普硬很多，但又软于严肃教材。

上海科技教育出版社有引进中译本，好些年前刚买回来时零星翻阅过其中几章，印象还是不错的，译者团队在审校时还对原版中的错误和叙述不清楚的地方以脚注的方式做了修正和补充。

今年为了打发往返某暑期营的通勤，从我的排山倒的电子藏书中随手选了它，断断续续几个月时间内通读了一遍，也重温了不少数学知识。

全书分为六大章节：

• Numbers 数系
• Analysis 分析
• Algebra and Geometry 代数与几何
• Calculus and Differential Equations 微积分与微分方程
• Probability 概率
• Theoretical Physics 理论物理

作者在前言中说得很明白，自叙想写一本 hybrid work——用启发式的科普笔调，展现教材级别的推导（present correct and full mathematical detail in the inspiring style of a popular book）。目标读者群体是从高中数学往大学数学过渡的人群，也许是高中毕业前准备大学申请、备战某些数学竞赛或是特殊入学考试的学生。作为从高中衔接到大学的拓展读物，作者也期待可以通过新瓶装旧酒的呈现方式能给已经具有一定数学基础的大学生、科学家和工程师一些启发。

诚然，这个定位在数学书中有它自己的生态位。高中数学、尤其是 A-Level 数学中，很多定理的推导都不作要求，学生只需要会拿来做计算即可。想要刨根问底了解结论的来龙去脉，在这本书中有机会找到比较系统的处理。这本书也更进一步地延申到很多大学数学的内容，提供了不少回看那些读者熟知的东西的高观点视角，不同数学分支之间的血肉关联被摊开来，后面章节的问题的分析常常建立在前面章节介绍的工具之上，这也是一本本数学教材分开单独阅读时通常不具有的视角。我最近也整理了一些抄书笔记，比如通过积分定义法引入自然对数和作为其反函数的指数函数，然后以此推导出这两个函数的所有基本性质（这里和这里），还有概率论中的几条重要的极限定理的证明（这里和这里），重温起来都格外有意思。

作者切入问题的方式也是我比较喜欢的：循序渐进地接连抛出一串问题，在充分的铺垫好动机的前提下，新概念才登场，过程很丝滑。这显然是贯彻了副标题 An Intuitive Journey 的精神，这种感觉和绝大多数数学教材一路“定义-推论-定理-证明”一路推下去的写法模式很不一样。书中推导不少，但也不会因为过于追求严谨而让人望而生畏。

作为一只物理狗，这本书还有一个对我路子的点是它写了很多数学工具应用于物理学的例子。介绍偏微分方程时的绳波和热传导问题，介绍群论时的晶体形变问题，最后干脆整整一个章节都给了理论物理，相当对我胃口。我猜作者大约是有点物理学背景的，查证下来作者博士阶段做的就是 M-theory，也不算意料之外了。

全书6个章节中，我的个人感觉大体上是越靠前的章节写得越好。前面几个章节把 self-contained 这件事情做得更好，章节展开的逻辑线路更清晰。全书从代数到分析、再到概率统计、还要兼顾应用，要在不到600页的篇幅内要塞进这么多东西，代价也是显而易见的。书中能读到不少本科专业课上才会碰见的内容，抽象代数中的群论、多元微积分中那几个关于体积分和面积分的奇妙定理、最简单（但其实也不简单）的偏微分方程、在相空间中讨论偏微分方程的解的思想、甚至概率论里还捎带了点随机分析和金融数学的介绍，很多话题只能是浅尝辄止。

理论物理那章可能是全书最奇怪的一章，几十页的篇幅既要写分析力学，又要介绍电磁学，还要讨论广义相对论和量子力学里的数学，这里头随便拎出一个分支，其丰富程度都足以撑起一本上千页篇幅的教材。作者选取的素材固然很有内涵，但是对于一名对数学感兴趣的高中生，除非知识储备极其扎实，否则我很怀疑 TA 能从这么些片段中学会多少东西。

还有最后想要吐槽下附录中给的习题集。我不清楚作者是出于何种目的收录了这些问题，茫茫多本科专业课的经典问题赫然位列其中，这些问题拿去给还没系统学过专业课的高中生做，堪称钓鱼。

总之，这本书启发式带领读者欣赏大学数学的出发点很棒，但某种程度上又有点过于有野心，对读者有着着实不低的门槛。它最大的价值在于以相当硬核地方式为读者展现了一幅高等数学的地图，告诉我们高中数学的小山丘过后，前方有哪些山、彼此如何连接。至于一步一个脚印地登山，那还是得去老老实实啃教材。但如果预期是去看一看那幅广阔的地图，值得推荐。