Mathematics: A Very Short Introduction

想到读这本 VSI to Mathematics 是因为小红书上看到好些培训机构的号在推荐这本牛津通识系列的 Mathematics，出于好奇就也买回来看看。

话说真不该小看这本100来页的小册子。单从作者 Timothy Gowers（组合数学巨佬，剑桥大学数学教授、1998年 Fields 奖章获得者）、中文版推荐序作者李大潜教授（偏微分方程大佬，复旦大学数学教授、中国科学院院士、法国科学院外籍院士）的名号，足以看出它的分量。

这本 VSI to Mathematics 用通俗的语言讲述了数学家眼中的数学是什么样子的。自开篇起，作者始终在强调抽象（abstraction）的意义。数学研究可以是从现实物理世界中抽离出其核心特征的过程，但更可以是不过问现实世界、完全以逻辑演绎为工具的推理过程。例如直线、维度这些数学对象，出于现实，但一旦将它们视作纯粹的数学对象，数学家可以将这些概念进行一般化，并拓展到我们不熟悉的领域，继而赋予它们新的意义。正是抽象，赋予了数学这门学科独特的魅力。

在作者眼中，做数学就是去研习逻辑自洽的一套规则，并运用这套抽象的规则去解决抽象的问题。抽象方法带来的结果也许伴随什么现实意义，但并不应将其作为数学规则的论据。作者一直在阐述的一个理念是：研究数学时，尝试去寻找可类比的现实示例并不是什么好主意，我们应当尽量抛弃想与现实世界建立联系的思维方式，而要学会通过直接学习、适应数学规则本身来学习数学。

作者十分擅长从简单的例子出发，引导读者思考深层次的、触及根本的问题。例如第三章中论证√2是无理数的叙述就非常精彩。作者通过不断质疑一些看起来天经地义的结论，把拍脑门就能下的结论拆解成一个个有待论证的命题，再把论证过程的每一步分解成更清晰的小步骤，最后归结为毋庸置疑的基本公理，让我读来颇有一种“哇，原来数学家是这样看待问题”的顿悟感。

又如第五和第六章中讨论的几何学中的平行共设问题，作者不惜列出了多种论证它正确性的逻辑，再去挖掘每种叙述中隐含的前提假设，将其明确地表达出来后，通过逻辑推理提出质疑，很自然地引出了关于非欧几何的讨论。虽然有与日常直观违背的结论，但在如球面几何和双曲几何的世界里，它们所符合的几何规则在逻辑上也完全是自洽的。

总之，不论是爱好数学的高中生，还是像我这般自喻数学还不错的民科老咸鱼，这都是一本非常棒的提升数学视野的科普。在最后一章里，作者也尝试回答了一些普罗大众对数学圈内人士容易产生误解和偏见的问题，也挺饶有趣味。