How to Think Like a Mathematician

由 Kevin Houston 多年在利兹大学给新生授课的讲稿整理而来，牛津和剑桥两家数学系的推荐书单同时榜上有名，我在小红书也频频刷到很多留学机构的号在推荐这本书。此书给出了许多切实可行的数学学习技巧，适合众多非天赋型选手服用。

推荐指数：9.0/10

书名就挺有意思，How to Think Like a Mathematician，即怎样像数学家那样思考？学习数学的过程中相信大家都有过这样的体验：在读到某些关键定理时，霎时间会疑惑，这几行字到底在说啥？抑或读到某个精妙证明时，会惊异其构造之巧妙、思维之洒脱，这神来之笔究竟从何而来？

我本人每年的这个时候都会接触一批备考牛津数学 MAT 和 TMUA 数学能力测评的学生，其中不乏一批把 A-Level/IB/AP 大纲课程学得很好、但面对这些有挑战的问题时却屡屡碰壁的学生。经常有同学问到：该怎样才能想到这个题要这么做呢？也许这本书能解答部分这样的困惑。

这本 How to Think Like a Mathematician 试图教会读者，如何训练数学思维，并且给了非常细碎的实操建议。例如，遇到抽象的命题，可以从或 trivial 或 extreme 的例子出发，想想有什么相关的 example、non-example、counterexample？要对一个命题作出证明时，如何从初步的想法，试探着作进一步的分析，中间也许会卡壳、会犯错，试错中摸索出规律，找到突破口，彻底通透之后，对思路进行最后梳理，发展成简洁又缜密的 polished proof。这本书很大篇幅就在引导读者掌握这样的思维方式。

针对 direct method（直接证明）、proof by cases（分类枚举）、contradiction（反证）、induction（归纳）等几类常见的证明方法，作者举了不少基础数论的例子，也算得上是不错的数论入门材料。这样的选材也是把读这本书的门槛放得足够低，不需要太多高等数学的基础，只需对数字和基本代数运算有一些了解就可以上手阅读。

这本书第二个版块关于数学逻辑的内容也很适合作为备考 TMUA 的学习资源。针对 converse / inverse / contrapositive（逆命题/否命题/逆否命题）、if / only if / if and only if（当/仅当/当且仅当）、sufficient / necessary condition（充分/必要条件）、for all / there exists（任意/存在）这些初学者容易混淆的概念，有十分详细的叙述和举例。

而在开篇的部分，作者花了一整个版块手把手地教读者怎么把一个数学问题写清楚。我个人也常跟 MAT 的考生强调，计算固然重要，但用严密的语言把一个问题表达清楚也是一种极为重要的数学能力。关于怎么清晰明了地 write mathematics，作者提供了很多建设性意见给读者参考。