跨国旅游？乘坐引力快车，去哪里都仅需42分钟！

Created on March 28, 2025

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搬运子上古年代的公众号灌水文章。

主要目的是想测试下网站上据称可以用 TikZJax 把文章里的 tikz 代码渲染成直接在网页上可以展示的 SVG 图片，但是这个功能的加载速度实在感人，所以还是复古流继续截图搬运吧。

引力快车

这个引力快车的脑洞不记得最早是在哪里看到的了，能想起来有据可查的资料是华裔理论物理学家 Anthony Zee（徐一鸿）的科普著作《老人的玩具》的开篇，其中提到了这样一个结论：

设想有一条穿过地心、直通地球另一端的隧道，列车从隧道这头启动，那么无需额外的动力，在地心引力的作用下，它就可以逐渐加速落向隧道另一头。当你经过地心之后，地心引力又会反过来对你起到减速的作用。在你几乎就要停下来时，你正好可以从隧道的另一端钻出来。假设你坐的是是能够耐得住地核可怕高温的金刚列车，一路下来不考虑摩擦带来的能量损耗，那么整个旅程仅需要大约42分钟，比现有的什么磁悬浮列车、超音速飞机甚至洲际导弹都要快。

更有意思的是，如果你的目的地不是在地球正对面，而是在任意的什么地方，只要你的所在地和要去的目的地之间也有这样一条直线隧道，你可以同样通过借助地心引力的帮助抵达目的地。神奇的是，这段旅程所花的时间跟你要去哪里没有关系！虽然隧道的总长变短了，但由于隧道的方向跟地心引力之间有个偏角，你的加速度会比先前小一些。在计算旅程耗费的总时间时，这两个因素正好抵消！不管这条直达隧道通往哪里，旅程所需的时间都是42分钟！

想象下从上海出发，不论是去英国伦敦，还是美国纽约，或是到澳洲墨尔本，单程都仅需40分钟多一点！留学生福音好嘛！这么阿妹子嘤的黑科技去注册个公司，稍加包装一下，指不定还真能忽悠钱多人傻的投资者，想想是不是找到了一条意淫发家致富的光辉道路？！

经过地心的引力快车

下面我们来证明这个结论。

我们知道，两个质量分别为 \(M\) 和 \(m\) 的点粒子在间距为 \(r\) 时之间存在万有引力

\[F=\frac{GMm}{r^2} \tag{1}\]

而对于像地球这样的大家伙，在考虑它对我们的这列要深入地心的列车能有产生多大引力时，还不能把它想当然地简单当作质点来处理。

可以证明，对于一个质量分布均匀的球壳，如果一个质点位于其内部，来自球壳各个方向上的引力会严格抵消，也就是说，这个质点不受到任何引力。如果质点位于球壳外部，那么在计算引力时，可以认为球壳的所有质量全部集中在球心上。这两个结论是平方反比力的一个自然推论，叫做球壳定理（shell theorem），由牛顿大神最早给出严格证明。

用方程式来表达的话，一个半径为 \(R\) 的球壳 \(M\)，位于球心距离 \(r\) 处的一个质点 \(m\) 受到的引力大小为

\[\left\{ \begin{array}{lcl} F=0 & \qquad & \text{if } r<R \\ F=\frac{GMm}{r^2} & \qquad & \text{if } r>R \end{array}\right. \tag{2}\]

如果我们把地球想象成一个个不同大小的球壳紧密套在一起的连续结构，那么我们的列车在距离地心为 \(r\) 时，真正对引力有贡献的仅仅是半径小于 \(r\) 的那些球壳。假设地球密度均匀，总质量为 \(M\)，那么对引力有贡献的有效质量为

\[M_\text{eff} = \frac{V(r)}{V(R)}M = \frac{r^3}{R^3}M \tag{3}\]

此时的引力大小为

\[F(r) = \frac{GM_\text{eff}m}{r^2} = \frac{G\left(\frac{r^3}{R^3}M\right)m}{r^2} = \frac{GMm}{R^3}r \tag{4}\]

在地球表面处，引力体现为物体的重力，于是有

\[\frac{GMm}{R^2} = mg \quad \Rightarrow \quad \frac{GM}{R^2} = g \tag{5}\]

因此距地心为 \(r\) 时的所受引力大小的表达式可以简化为

\[F(r) = \frac{mg}{R}r \tag{6}\]

我们于是得到运动方程

\[-\frac{mg}{R}r = m\frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{d} t^2} \tag{7}\]

其中列车的加速度表达成了位置 \(r\) 对时间 \(t\) 的二阶导数，负号的引入是由于引力总是指向地心，而 \(r\) 的定义是从地心向外的位移，两者方向相反。方程可以进一步化为一个形式简单的二阶常微分方程

\[\boxed{\frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{d} t^2} = -\frac{g}{R}r} \tag{8}\]

注意到 \(g\)，\(R\) 都是常数，说明列车的加速度与 \(r\) 时刻有正比关系，列车将以地心为平衡位置来回作简谐振动！

初始时刻，位于地球表面的列车开始由静止状态启动，即方程的初始条件为\(t=0\)时，\(r=R\)，\(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}=0\)。不难验证满足初始条件的解为

\[r(t) = R\cos\left(\sqrt{\frac{g}{R}} t\right) \tag{9}\]

一次完整振动的周期为

\[T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} \tag{10}\]

从地球一头跑去另一头，只需半个完整的周期，因此我们的引力快车单程所需的时间为

\[\boxed{t=\pi\sqrt{\frac{R}{g}}} \tag{11}\]

代入地球半径 \(R=6.4\times10^6 \text{ m}\)，地表的重力加速度 \(g=9.8 \text{ m/s}^{2}\)，

\[t = \pi \sqrt{\frac{6.4\times10^6}{9.8}} \approx 2540 \text{ s} \approx 42.3 \text{ min} \tag{12}\]

这正是我们之前介绍中提到的数值！

连接地球表面任意两地的直线隧道

接下来分析更普遍的情形。对于连接地球上任意两地的直线隧道，在列车距离地心\(r\)时，它受到的引力仍然仅来自于地球内部半径小于 \(r\) 的那部分，但是对列车加速产生影响的，是这个力在列车行进方向、即隧道方向上的分力。

在隧道方向上建立坐标轴，并选取距离地心最近处为原点。列车每时每刻的位置也可以由一个参数即它的 \(x\) 坐标完整描述。利用 (6) 式的结论，在 \(x\) 方向上对运动状态有贡献的引力分力的大小为：

\[F_x = F(r)\sin\theta = \frac{mg}{R}r\sin\theta = \frac{mg}{R}x \tag{13}\]

由此写出运动方程：

\[-\frac{mg}{R}x = m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} \tag{14}\]

即

\[\boxed{\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = -\frac{g}{R}x} \tag{15}\]

这与 (8) 式表示的运动方程形式上完全一样。因此，列车仍将在隧道作简谐运动，列车的运动虽然不再通过地心，振动的幅度有所减小，但振动过程的周期、频率跟之前完全一样！于是每次旅程所需的时间也将是

\[\boxed{t=\pi\sqrt{\frac{R}{g}}} \approx 42.3 \text{ min} \tag{16}\]

思考问题

  • 如果考虑到地球内部的密度并非严格均匀分布，地核的密度实际上要略大于地壳的密度，这将如何影响我们的计算结果？
  • 对于直通地球正对面的列车隧道，不计摩擦力导致的能量损失，整个旅程可以达到的最大速度是多少？跟一颗贴地人造卫星的飞行速度作比较，你有什么结论？
  • 试证明球壳定理：对于一个质量均匀分布的空心球壳，在其内部的质点受到球壳的引力严格为零。

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