今早看到各大媒体报导的英国理论物理学家 Peter Higgs 逝世的消息，不禁思绪万千。又想起跟粒子物理死磕的那些日子，领悟到 Higgs 机制解释标准模型中基本粒子质量起源的精妙之时，是多么激动。

我也还清楚地记得2012年看 CERN 发布会的全球直播，实验项目的负责人在台上宣布找到了 Higgs boson 的证据，全场掌声雷动，现场上百位科学家忘情地欢呼、拥抱，然后镜头拉进给到那个前排那位眼里闪着光的老人，周围的一群学术界大佬都围拢过去向他致以最高的敬意。就算我不学物理，这一幕也足以让我动容。

一晃十多年又过去了，翻出当年写的一篇长博客，是以悼念这位在粒子物理研究中开疆辟土的大神。

标准模型和 Higgs 玻色子

烤羚羊

2012年7月

粒子物理学是一门试图揭开大自然最根本物理规律的科学。粒子物理学家们研究形成宇宙物质的基本粒子和它们之间的相互作用。有一个称作标准模型的理论，非常成功地将4种相互作用里中的3种融入到了同一个框架内。标准模型理论的建立大大加深了我们对自然的理解。但是这个理论自从建立以来一直有一个问题。为了解释基本粒子质量的来源，标准模型中引入了一个之前从未有人观测到的 Higgs 场。尽管 Higgs 机制可以在标准模型的框架内很好地解释基本粒子的起源问题，但是如果这个假想的客体无法在实验中验证的，这恐怕将是标准模型理论的灾难。

而这次在 CERN 发现的类似 Higgs 的新玻色子，很可能是标准模型预言的那个 Higgs 玻色子，也即最终完成标准模型最后一块拼图的关键要素即将被确认，因此这很可能成为粒子物理学历史中一个具有里程碑意义的发现。

作为一个理论粒子物理专业的毕业生，这次的发现着实让我非常激动，于是萌生了写一篇博客中科普下标准模型及相关内容的想法。在解释 Higgs 玻色子和标准模型究竟是怎么回事之前，我觉得有必要或没必要地需要先对一些基本的物理概念做一些解释。

背景知识：基本相互作用、场、作用量原理、对称性

玻色子和费米子

所有的基本粒子可以根据它们的统计性质，分为玻色子和费米子两大类。简单地说，玻色子是集体主义者，它们不介意一窝蜂地挤在一起，占据相同的态。而费米子性格比较孤僻，如果一个态被一个费米子占据了，那其他的费米子就不能再进来了。玻色子和费米子这种不同性质是由一种叫做自旋的内在属性决定的。玻色子的自旋都是整数，如 \(0\)，\(1\)。费米子的自旋都是半整数，如 \(\frac{1}{2}\)，\(\frac{3}{2}\)。

在下面的讨论中，我们不会提及太多关于不相容性或者是自旋的内容，大家只需要粗略地知道玻色子和费米子不过是两种粒子的分类名称就足够了。

基本作用力

一般认为，自然界中一共有4种基本相互作用，分别是引力相互作用，电磁相互作用，强相互作用和弱相互作用。有时候我们会简单地称它们为引力，电磁力，强力和弱力。

需要注意的是，相互作用与力的概念是有不同的。下面马上会提到，理论物理学中研究的基本客体是场，用力这个词来描述场之间的相互作用不是非常恰当。但是很多时候不必追求过于严谨，术语的使用会比较随意。

这4种基本相互作用中，引力不用多说，两个有质量物体之间的相互吸引。强力和弱力是在非常非常小的微观尺度下在原子核中表现出来的两种不同作用，简单来说，强力把质子和中子绑在一起形成原子核，弱力跟原子核的某些衰变过程相关。电磁力是我们生活中接触最多的一种力。因为物质都是由原子组成的，从微观上来看，当两块物质相互接触时，原子的外层电子与靠近它的其他原子中的外层电子通过电磁力相互掐架，所谓的摩擦力、支持力、弹簧弹力等等，都是电磁力的宏观表现，而电磁力才是最基本的相互作用。

物理学家的一个终极目标就是试图写下一个理论，可以将4种基本作用力全部囊括在内。标准模型是迄今为止最成功的统一模型，它成功地将除去引力之外的另3中基本作用写进了同一个理论。对于引力，至今仍然有许多技术上的问题没有解决。

场

粒子物理中所研究最基本的对象是场，一种分布在宇宙各处的物理客体。场的概念最早来自于对电磁学的研究，引入电场和磁场的概念来描述一个物理在电磁作用下的运动会使得讨论变得非常方便。标准模型理论就是一系列场的理论。场与场之间可以发生相互作用。场的波动产生的涟漪，称作元激发，就是一个实物粒子。需要注意一下场和粒子是非常不同的客体，场是无处不在、分布在时空各个角落的，而粒子是一些点，它们不占据或者几乎不占据任何空间体积。

CERN 新发现的这个玻色子，就很可能是标准模型中一直无法实验验证的 Higgs 场的元激发。标准模型中引入了假想的 Higgs 场解决了其他实物粒子诸如夸克、电子等没有质量的问题， 如果能够实验确定 Higgs 粒子的存在，那就是对 Higgs 场的存在强有力的证明。

作用量原理

这是理论物理学中最重要也是最漂亮的原理之一。对于任何一个物理体系，我们都可以定义一个叫做作用量的物理量，它跟体系的能量有一点关系，但是概念上有所不同。作用量原理说的是，不管一个体系如何，它所作的运动总会使得体系的作用量达到一个极小值。（注：对于一些特殊情况，有可能是极大值，但在这里不作过多讨论）

举几个例子。比如苹果为什么会掉到牛顿脑袋上？因为地上的作用量要比天上的小，所以苹果如果自由运动的话，它会设法让自己的作用量变小，就朝着地面掉下来了。又比如为什么光在介质里总是沿直线传播？因为如果它沿曲线传播，曲折的路径所对应的作用量会更大，因此实际中，光永远都会聪明地挑选最实惠的，或者说作用量最小的直线。

我们看到，作用量原理的适用范围很广。其实，只要我们知道一个系统的作用量，它的物理运动都可以由作用量原理推出。换句话说，要研究一个物理体系的行为，就是去写它的作用量。如果我们知道了作用量，那么根据作用量原理，就可以得到作用量满足极小条件时的运动方程。如果能够解出这个运动方程，那么体系的所有信息就都有了。

对称性

既然说解物理问题就是写作用量，那么我们就开始动笔写吧。但是等一下，作用量并不是随便写的。有一个重要的约束条件，我们要求我们的作用量在一些对称操作下保持不变，或者说作用量必须满足某些对称性。

这里所说的对称性是广义的对称性，只要作用量在某种变换操作下保持不变，我们就说这是一种对称性。对称性不仅仅是指一个人站在镜子前，镜子中会看到一个跟自己一样的镜像这种性质。镜像对称只是诸多广义对称性中的一种。

举几个例子。比如说，不管你身处何方，是在家里还是在马路上，在中国还是在火星，或者是在几千光年外的星系中，我们观察的物理规律应该是一样的，也就是说不管移到哪里我们的作用量应该还是那个作用量，这称作平移对称。又比如，不论你面朝东南西北，是仰望星空还是低头思考人生，观察到的物理规律也不会有所区别，这称作转动对称。在比如，你今天做一个试验，或者明天做一个试验，你去跟几百年前牛顿和伽利略做的试验区比较，你也可以让你的曾曾曾孙子做一个相同的试验，但是这些试验所遵循的物理规律也应该是相同的，这称作时间对称性。这三种对称性的约束条件非常自然，和我们直观的感受相符。平移对称、转动对称、时间对称，这三者也是理论物理学中最基础的对称性，可以等价地看作数学理论中的公理。由这三种对称性，就可以写下具有物理意义的作用量。

在标准模型中，会涉及到比这三种对称性更深层次的对称性，这个之后会慢慢作解释。

守恒律

这是我想要介绍的最后一点背景知识，也是物理学中很漂亮的一个结论。它叫做 Noether 定理，由德国女数学家 Emmy Noether 最先提出。这条定理说：对应于某种对称性，必然会存在一条守恒定律，我们可以进而定义相对应的守恒量。

我们结合上面的例子来解释。比如对应于平移对称，一个自然的结果就是动量守恒。对于转动对称，我们会有角动量守恒。对于时间对称，我们会有能量守恒。这些普通物理学课本中作为定论的守恒律，其实都可以理解为约束了物理世界的对称性后自然的结果。

对于标准模型，由于它涉及新的对称性质，因此还会有新的守恒量。好了，我已经花了不少功夫介绍完了必要的概念，接下来可以探讨标准模型究竟是在做什么了。

标准模型、规范场

基本粒子

物理学家们已经发现了非常多的基本粒子，它们有夸克（有6种味，分别叫做上，下，奇，魅，顶，底夸克），轻子（有3个族，电子，\(\mu\)子，\(\tau\)子，和它们对应的中微子，也是6种），光子（光，或者说是电磁波的量子，共1种），\(W\)玻色子和\(Z\)玻色子（\(W\)玻色子有2种，分别有正负电荷。\(Z\)玻色子只有1种，不带电荷），胶子（有8种之多），以及相应的反粒子们。

这些基本粒子中，有一些和我们的生活息息相关。上夸克和下夸克可以组成质子和中子，和电子一起它们就可以构成一个原子，而大量的原子就可以组成我们生活中看得见摸得到的物质。

但另一些基本粒子就比较罕见，它们中有几个的行为也比较奇特。物理学家们试图理解这些粒子的行为。它们是如何相互作用的？为什么有些粒子会不稳定？为什么不同的粒子之间质量的差异会那么巨大？是不是还有更多的基本粒子？有很多疑问都需要解答。

基本粒子的规律

我们知道，在化学研究中，化学家们根据元素的性质规律，可以把100多种元素排进一张元素周期表。周期表中每一列上的元素都有相似的化学性质，而另一列上的元素会有另外的某些性质。现在我们知道，我们可以这么做的原因在于原子深层次的内部结构决定了不同元素的性质。那些围绕原子核运动的电子决定了元素的化学性质。

那么物理学家能不能作一张类似于元素周期表的基本粒子表呢？答案是肯定的。物理学家努力寻找这些基本粒子的规律后发现，所有的这些基本粒子可以完美地填到如下图所示的表中。我们可以这么做的原因，就是本文重点要解释的标准模型。

规范场论

标准模型是通过一系列对称性原理建立起来的。除去先前提到过的平移、转动、时间三种基本的对称性，标准模型还约束了一种新的对称性——规范对称。由于标准模型同时是一个场的理论，因此很多时候我们也会说标准模型是一个规范场的理论。

提到规范场理论的发展不得不要提一下著名的华裔物理学家杨振宁先生，他和另一位美国物理学家 Robert Mills 在1954年尝试用非交换群的规范场理论来描述强相互作用，直到多年后才忽然受到学术界重视，后来随着其他一些理论工作的进展，规范场理论渐渐成为标准模型中的重要一环。杨振宁和他的同事所提出的规范场理论后来被人称作 Yang-Mills 规范场，如果你打开任何一本量子场论的教科书，你都会发现这部分内容会占去相当的篇幅。杨振宁在规范场理论方向的工作的重要性，甚至要超过他和李政道获得诺贝尔奖的对于宇称不守恒问题的研究。

另外我在这里还想提到另一点，尽管可能会扯得很远。上个月刚刚去世的复旦数学系的谷超豪院士，他从70年代起与杨振宁有过一段长时间的合作，对规范场的数学基础的奠定作了相当的重要工作，他们是最早一批将粒子物理学中的规范场和微分几何中的联络和曲率这些概念联系起来的研究者，他们发现可以用数学中纤维丛的语言来描述规范场所处的向量空间。总之，是非常漂亮的结果，同时这件把物理和数学直接联系起来的工作也具有相当大的重要性。尽管我和谷超豪先生未有过任何交流，但是我仍愿在这里表达一下我对大师的敬仰和纪念。

标准模型

果然扯远了，回来继续说标准模型。在加上规范对称的条件后，我们差不多就可以写下标准模型的作用量了。如果要写，写成最紧凑的形式大概就是这样：

\[L = - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} + i \bar{\psi}_j \gamma^\mu D_\mu \psi_j\]

如果你想要伪装成一个粒子物理学家，不妨拿张纸和笔，把这个式子一写，比什么都管用。式子右边第一项就是规范场的贡献，第二项是来自实物粒子场的动能项。至此，这个理论的物理图像开始渐渐清晰了。基本粒子被划分成了实物粒子，和规范场的粒子。实物粒子包括夸克和轻子，它们以那个动能项的形式进入了作用量。而规范场粒子包括光子，\(W\)和\(Z\)玻色子，以及胶子。

如果我们把这个紧凑的数学形式写开，展开后至少要写个四五行，我们会发现实物粒子和规范场粒子之间有一些相互交叉的项，正说明实物粒子和规范场粒子之间存在相互作用。规范场粒子在其中起到的作用，可以理解为实物粒子之间相互作用的传递者。在这个图像中，两个电子之间可以通过交换一个光子发生电磁相互作用，一个夸克和一个电子可以通过交换一个\(W\)玻色子发生弱相互作用，两个夸克可以通过交换一个胶子发生强相互作用。也就是说，从这个模型中，我们知道了基本粒子之间相互作用的根本机制。对于粒子对撞后的散射过程，原则上我们也可以对这个过程做精确的计算。

我们可以再回过头来看一看对称性。其实标准模型中涉及到了三种规范对称，如果把基本粒子们划分成几个多重态，则上面写出的这个作用量在这三种规范变化下都可以保持不变。在背景知识中，我们介绍了只要有对称性，那必定会有守恒量。在标准模型中，每个粒子都在局域的相位变换中保持作用量不变，这对应的守恒量叫做超电荷，之后会说到超电荷和普通的电荷两个概念的联系。又例如轻子中的每一组，都可以构成一个双重态，在规范变换中保证一个叫做同位旋的物理量守恒。每种味的夸克都可以构成一个三重态保证一个叫做色的物理量守恒。尽管模型最早先几乎是从纯数学的角度建立的，但是这里的三个守恒物理量，超电荷、同位旋、色，都已经在实验中或直接或间接地被证实。

好了，基于规范场的标准模型的框架差不多已经建立好了，而且这套理论非常成功，它可以很好地解释强、弱和电磁相互作用，并且对一些过程的理论的计算结果和实验匹配得非常好。那么还有什么问题吗？

Higgs 机制、对称破缺

标准模型的质量问题

是的，还有个大问题。那就是我们还没有引入质量项。现在理论里所有的基本粒子都是无质量的粒子。一方面，我们清楚地知道，我们熟悉的诸如电子的实物粒子确确实实具有质量。另一方面，相对论告诉我们，一个零质量的物体永远以光速运动。也就是说，现在写下的这个标准模型中的粒子全都在呼呼乱飞，根本没法形成稳定的原子，进而形成我们赖以生存的物质。这个推论显然不靠谱。这个理论里没有质量项是个必须要解决的问题，这也是一开始 Yang-Mills 理论没有受到太多关注的原因之一。

那么我们来尝试写下一个质量项。当然这时候我们仍然要保证原有的对称性依然满足，拆东墙补西墙的修正是没有意义的。但是我们会发现，任何企图引入质量的尝试都会破坏规范对称性。其根本的原因在于弱相互作用有一点讨厌的地方，大自然某种意义上是个左撇子，它对左手和右手两周手性有所偏袒，这里的细节不作过多讨论。这里要强调的关键在于：我们无法在维持规范对称的约束下引入质量项。

Higgs 场的引入

直到1960年左右，Yoichiro Nambu\(^{[1]}\) 和 Jeffrey Goldstone 等人\(^{[2][3]}\)提出了一个伟大的想法，他们发现基本粒子可以通过一种叫做对称性破缺的过程获得质量。在1964年，数位科学家几乎同时发表了将这种机制引入标准模型来解释基本粒子质量来源的文章，这几位分别是 Peter Higgs\(^{[4]}\), Robert Brout 和 Francois Englert\(^{[5]}\), 以及 Gerald Guralnik, Carl Hagen 和 Tom Kibble\(^{[6]}\) 。CERN 的新发现很可能会为他们中的几位在近50年后带来诺贝尔奖章。这种机制后来以 Peter Higgs 的名字命名，被称作了 Higgs 机制。

这里的一个核心思想在于，它们引入了一个假想的 Higgs 场，也就是在标准模型的作用量后又添加了一项。这个 Higgs 场无处不在，弥散在宇宙空间的各个角落。Higgs 场与各基本粒子场产生相互作用，进而给了基本粒子以质量。这个 Higgs 场的粒子是 Higgs 玻色子，也就是在强子对撞实验中科学家想要看到的那个粒子。

Higgs 机制：一个定性的讨论

想象一下在地面上行走，我们不用费多大的力就可以走得很快。但是如果我们跳进一个游泳池，我们就会发现，在水的阻力下，想要移动自己的身子就没那么容易了。Higgs 场以类似的方式阻碍了其他粒子的运动，等效地来看，那些粒子就获得质量。有一些粒子，它们跟 Higgs 场的作用比较强，它们感受到的阻力比较大，于是它们活得了比较大的质量，比如夸克。有一些粒子，它们跟 Higgs 场的作用相对弱一些，它们的质量也会比较小，比如电子。还有一些粒子，它们不受 Higgs 场的作用，于是它们仍然以光速在现实世界中运动，比如光子和胶子。

有了这个思路，我们差不多可以写下标准模型的完整形式了。我们需要在原来的作用量后面再补上几项，分别是新引入的 Higgs 场的动能项和势能项，以及它和原先就在模型中的那些场的相互作用项。写出来大概会是这样：

\[L = - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} + i \bar{\psi}_j \gamma^\mu D_\mu \psi_j + \vert D_\mu \phi \vert^2 - V(\phi) + \psi_i h_{ij} \psi_j \phi + \text{h.c.}\]

最后的那个 h.c. 指的是相互作用项的复数共轭，这是为了保证对称性需要的。由于这样引入的是一个全新的 Higgs 场，我们可以霸王硬上弓。我们强行地让这个新的场按我们期望的方式在规范对称操作下做变换，以保证原有的规范对称不变性。

对称性破缺与 Higgs 机制

接着我们来细致地探讨下对称破缺和 Higgs 机制给予粒子质量的原理。

试想我们在一个啤酒瓶瓶底上放一个小球，大概如下图所示。之所以举这么个例子是因为，如果把 Higgs 场的势能项的具体函数形式化成一个图像的话，差不多就是这样的形状。不管是 Higgs 场的市场，还是现在我们关注的啤酒瓶瓶底，它们都是具有很好对称性的。我们也许觉得把小球放在那个小坡坡顶上是个不错的选择，因为那里正好处于中心位置。但是那个小球不会停在那里，它会往下滑，并最终停在坡底的某个地方。坡底那一整圈都是小球可能最终停下来的位置，但是不管小球停在哪里，这个位置不再具有良好的对称性了，这个点没有任何的特殊性。也就是说，即使这个啤酒瓶瓶底是个很好的旋转对称曲面，但是小球最后停下的位置会打破对称性。

这个图像可以类比到 Higgs 机制。就像小球总是会自己滚到最低点那样，任何物理体系在不受外界驱动的情况下，都会试图让自己处在一个能量最低的状态，这个态通常称作真空态，或者叫做基态。尽管我们开始写下的作用量具有很好的对称性，但是体系所处的真空态有可能会破坏对称性。很多时候我们会发现在真空态的附近来研究一个体系会很方便，于是我们把原来的作用量在真空态附近做展开，式子里的一些项会重新组合。如果我们来解读这些改写后的项的物理意义，我们发现，有一些基本粒子似乎是吞掉了一部分的 Higgs 玻色子从而获得了质量，而有一部分粒子没有任何影响因此它们仍然是零质量。在对称性破缺后，原来的一个守恒量超电荷，和同位旋的一个分量结合退化成了我们所熟悉的电荷，即描述物体带电量多少的那个物理量。

到这里，故事讲得差不多了，简单总结一下。标准模型是一个非常成功的粒子物理理论，它将强、弱、电磁三种相互作用统一了起来。为了解决基本粒子没有质量的问题，可以通过引进一个 Higgs 场。在比较低能量的状态下，对称性发生破缺，一些基本粒子从 Higgs 场的相互作用中获得了质量。Higgs 场是否存在就成为了标准模型是否能够成立最后的也是最关键的一环。如果没有 Higgs 场，就不会有带质量的夸克和电子，就不会有星系的形成，不会有山川河流，不会有鸡鸭牛羊，也不会有你有我。

索引文献

1. Yoichiro Nambu. Quasi-Particles and Gauge Invariance in the Theory of Superconductivity. Phys. Rev. 117, 648, Feb 1960
2. Jeffrey Goldstone. Field theories with Superconductor solutions. Nuovo Cim 19, 154–164, Jan 1961.
3. Jeffrey Goldstone, Abdus Salam, and Steven Weinberg. Broken Symmetries. Phys. Rev. 127, 965, Aug 1962
4. Peter W. Higgs. Broken symmetries and the masses of gauge bosons. Phys. Rev. Lett., 13:508–509, Oct 1964.
5. F. Englert and R. Brout. Broken symmetry and the mass of gauge vector mesons. Phys. Rev. Lett., 13:321–323, Aug 1964.
6. G. S. Guralnik, C. R. Hagen, and T. W. B. Kibble. Global conservation laws and massless particles. Phys. Rev. Lett., 13:585–587, Nov 1964.