论如何利用概率论科学地谈恋爱

古早公众号搬运过来的灌水文章，来谈一谈一个非常有意义的课题：如何利用概率论科学地把妹！

这个问题最早是在 matrix67 的博客上读到，据说是美国数学家 Merrill Flood 于 1949 年的某次报告中提出的，更多的讨论可参考维基百科页面

在你的人生长河中，会有好多好多的妹纸与你相识相遇，这之中总有一个是最适合你的妹纸，问题在于我们怎样来找到这个妹纸呢？我们这里有一个非常简单粗暴的策略。在你决定认真交往之前，跟妹纸约会出来只是玩玩，请客吃饭看电影可以，但是坚决不走心！为什么呢？因为交往的目的仅仅是为了对妹纸这种奇妙的生物多一些了解。然而一旦你开始认真考虑寻找人生伴侣这件事情，只要遇到比之前玩过的妹纸条件更好、更对你胃口的，就不择手段把她追到手。在这个策略中，我们绝不接受神马什么把人姑凉甩了之后懊悔不已而低三下四地回去求复合这种事情。作为丧心病狂的死理性派，我们一旦跟妹纸分手，就从此一刀两段，恩断义绝，老死不相往来。因此，我们拿来作为样本的妹纸不能太多，不然你的真爱就很有可能被你稀里糊涂玩弄了一波感情之后，从此相忘于江湖。另一方面，作为样本的妹纸也不能太少，否则你对妹纸的了解仍然跟 Jon Snow¹ 一样多，那就很难说你能有雪亮的金坷垃之眼来找到真爱。所以这里有个把妹的最优化问题，那么为了摸清底细而约会的那些妹纸究竟应该交往多少个，才可以有最大的概率找到你的命中注定的另一半呢？

下面我们建立数学模型。假设你这辈子能勾搭上 \(N\) 个妹纸，你决定跟最早遇到的 \(k\) 个只是单纯玩玩的态度，我们姑且称之为\(k\)-策略。那么这种策略帮助你找到真爱的概率 \(P(k)\) 有多大呢？（友情提示，对数学表示头大的童鞋到此可以直接拉到底看结论）

在你人生中遇到的所有 \(N\) 个妹纸中，最棒的那个在第 \(n\) 个出现的概率显然是简单的 \(\frac{1}{N}\)。但要最后跟她在一起，她显然不能落在最早遇到那 \(k\) 个被玩弄的样本群里，即必须有 \(n\geq k+1\) 我们才不至于错过她。另外，为了能等到她，在她之前遇到的最好的妹纸必须要在那 \(k\) 个样本里，否则如果有比所有样本妹纸都好的姑凉，又在你遇到真爱之前出现在你生命中，你就不小心跟别人跑了。在遇到真爱前，一共遇到的 \((n-1)\) 个妹纸里面最棒的那个正巧在前 \(k\) 个里被你遇到的概率是 \(\frac{k}{n-1}\)。综上讨论，我们得到 \(k\)-策略的成功概率为：

\[P(k) = \sum_{n=k+1}^N \left(\frac{1}{N} \times \frac{k}{n-1}\right) = \left(\sum_{n=k+1}^N \frac{1}{n-1}\right) \times \frac{k}{N}\]

表达式里比较麻烦的是括号里对 \(\frac{1}{n-1}\) 的求和。我们把这个求和想象成底为单位长、高逐个减小的一系列矩形的总面积，如下图蓝色区域所示。这部分面积可以由函数 \(y=\frac{1}{n-1}\) 曲线下对应的面积来近似。当 \(N\) 足够大时，这个近似的误差会足够小。

由此这个无从下手的求和问题就转化为一个简单的积分：

\[\sum_{n=k+1}^N \frac{1}{n-1} \approx \int_{k+1}^{N+1} \frac{\mathrm{d} n}{n-1} = \ln(n-1)\Big|_{k+1}^{N+1} = \ln\frac{N}{k}\]

于是我们得到

\[P(k) \approx \frac{k}{N} \ln\frac{N}{k} = -\frac{k}{N} \ln\frac{k}{N}\]

为求出成功概率 \(P(k)\) 的最大值，我们可以使出求极值问题的杀手锏——驻点法！在最大值处，必然有 \(P(k)\) 随 \(k\) 的导数为零： \(\frac{\mathrm{d} P(k)}{\mathrm{d} k} \approx \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} k}\left(-\frac{k}{N} \ln\frac{k}{N}\right) = -\frac{1}{N}\ln\frac{k}{N} - \frac{k}{N}\frac{1}{N}\frac{N}{k} = 0\)

化简整理后可以得到

\[\boxed{k \approx \frac{N}{\mathrm{e}}}\]

注意到 \(\mathrm{e}^{-1} \approx 37\%\)，也就是说，寻找真爱的最佳策略就是，对于你这一生中遇到的前37\%的妹纸们，随便玩玩开心就好，不必认真，更好的妹纸还在后头，所谓心急吃不了嫩豆腐。对于坚持读到这里的情窦初开的高中生读者们，这大概是最理性最冷血的早恋警告，反正现在接触的妹纸多半不是最适合你的真爱，那么当下还是沉迷学习争取上名校，到时周围就会有更多更棒的猎物下手，岂不美哉？当然，这个37\%的结论的前提条件是你这辈子能接触到的妹纸数量\(N\)足够多，如果你盘算着这辈子也不会有多少妹纸来搭理你，那么还是洗洗睡吧，概率论也帮不了你，奉劝一句，且行且珍惜。。。。

拓展思考

在处理概率的估值时，我们用到了一个求和化积分的近似技巧。在很多科学问题中，这个近似处理一些不太容易严格计算的求和问题非常管用。有兴趣的读者可以试着自动动手证明一个在处理大量微观粒子的统计平均时非常有用的 Sterling 公式： \(\ln N! \approx N\ln N - N\)

Footnotes