潮汐力与洛希极限

虽然还没看过最近大火的《流浪地球》，但不妨蹭个热度，聊一聊电影里提到的洛希极限（Roche limit）的概念。

说来，我在高中时决定将物理学作为自己的大学专业，跟洛希极限这个概念还有点渊源。当时身为化学班里的种子选手，机缘巧合下在图书馆摸起了一本很小众的物理科普——印度天体物理学家 Jayant V. Narlikar 所著的《轻松话引力》。这是我读的第一本关于宇宙的科普，通过它我第一次系统地接触了诸如恒星核合成、弯曲时空、黑洞、宇宙大爆炸这些奇妙的理论，当然也包括本文要写的潮汐力、洛希界限的问题，点燃了我对物理世界的兴趣。随着我拿起一本又一本的物理科普，对物理学的兴趣也越来越深，力排化学老师的竭力劝阻转到了物理班，之后就在物理学这门学科上一直亲密相处到了今天。

这篇水文，一方面写给这个公众号的主要受众群体——对物理感兴趣的高中生群体和其他年龄段的科学爱好者，另一方面也算是一波回忆杀吧，兜兜转转那么多年过去，能把当年小毛孩时代了解的新鲜东西用自己的话重新写出来，再做一点扩充，给读者们分享一些物理世界的奇妙。

潮汐力

谈起洛希极限，就离不开先谈谈潮汐力（tidal force）。一个自身具有一定大小的物体处在另一个物体产生的引力场中时，物体不同区域到质量源有远有近，因此感受的引力场并非处处相等：相比远离质量源的那侧，靠近质量源的那侧会感受到更强的引力场，即物体两端会存在引力差，这就导致该物体有沿着两物体质心连线方向被拉伸的趋势，这便是所谓的潮汐力。

注意潮汐力并不是一种真正的作用力，即是一种赝力，潮汐力本质上是物体各个部分感受到的引力场强不均而所导致的。

下面我们以比较粗暴的方式来推导潮汐力的计算公式。

设受力分析的对象物体是半径大小为 \(r\)、质量为 \(m\) 的球体，它处在半径大小为 \(R\)、质量为 \(M\) 的质量源所产生的引力场中，两者的质心距离为 \(d\)。记物体表面最靠近质量源的位置为 \(P_-\)，离质量源最远的点为 \(P_+\)。则 \(P_\mp\) 处的引力场强、即自由质点由于引力产生的加速度为：

\[a_\mp = \frac{GM}{(d\mp r)^2} = \frac{GM}{d^2}\left( 1 \mp \frac{r}{d}\right)^{-2}\]

如果我们关注的是天体（恒星、行星、卫星等）之间引起的潮汐效应，而天体的半径 \(r\) 一般都远小于天体们之间的间距 \(d\)，即 \(\frac{r}{d} \ll 1\)，因此可以作 Taylor 展开后取一级近似

\[\left( 1\mp\frac{r}{d}\right)^{-2} \approx 1 + (-2)\times\left( \mp \frac{r}{d} \right) = 1 \pm \frac{2r}{d}\]

于是

\[a_\mp \approx \frac{GM}{d^2} \pm \frac{2GMr}{d^3}\]

注意上式右边的第一项，正是将球体当作质量全部集中于球心进行整体处理时得到的质心加速度，因此第二项的修正给出的就是由于潮汐力导致的有别于质心加速度的差异。靠近质量源的 \(P_-\) 会有更大的加速度，而离质量源更远的 \(P_+\) 会有略小的加速度，因此相比于整体的质心加速度，\(P_-\) 处的物体会有往质量源那侧被拖拽的趋势，而 \(P_+\) 处的物体会有被往远离质量源的方向被排斥的趋势，即为潮汐效应¹。

在一级近似下，这两处的加速度与质心加速度的差异在数值上相等，于是我们可以估算出这两处的潮汐加速度²为：

\[\boxed{ a_\text{tidal} = \frac{2GMr}{d^3}}\]

从结果中可以看出，产生引力场的质量 \(M\) 越大，感受到引力场梯度的物体的块头 \(r\) 越大，两者之间的距离 \(d\) 越小，都会导致更强烈的潮汐拉伸作用。 其中距离 \(d\) 的影响尤为重要，潮汐作用随距离呈立方反比地下降：距离 \(d\) 增大 \(10\) 倍意味着潮汐作用会减弱至原先地 \(1000\) 分之一。

地球上的潮汐现象

套用上面结果，我们可以来比较下地球分别由于太阳和月球的引力场产生的潮汐加速度。

代入地球的半径数据 \(r = 6.4\times10^6 \text{ m}\)；太阳的质量 \(M_\text{sun} = 2.0\times10^{30} \text{ kg}\) 和日地平均距离 \(d_\text{sun} = 1.5\times10^{11} \text{ m}\)；月球的质量 \(M_\text{moon} = 7.3\times10^{22} \text{ kg}\) 和月地平均距离 \(d_\text{moon} = 3.8\times10^{8} \text{ m}\)，可以计算出：

\[\begin{aligned} a_\text{tidal, sun} \approx 0.5\times10^{-6} \text{ m s}^{-2} \\ a_\text{tidal, moon} \approx 1.1\times10^{-6} \text{ m s}^{-2} \end{aligned}\]

发现什么很神奇的事情吗？尽管太阳对地球的引力要比月球强得多，但由于潮汐作用随距离 \(d\) 立方反比地衰减，所以虽然自身质量比较卑微、但离地球更近的月球占足了便宜，太阳导致的潮汐力的贡献尚不足月球产生的效果的一半。这也是为什么经常把海浪的潮汐现象归结为月球引力。地球在沿着地球-月球连线的方向上被拉伸，由于地球表面存在大量的液态水，在靠近月球和远离月球的两侧，海面隆起，形成涨潮。考虑到地球的自转，地球上不同区域的海面就会交替地隆起又落下，形成周期性的涨潮和落潮。

除了月球之外，太阳对潮汐现象也有着可观的影响。当太阳、月球、地球排成一线时，太阳和月球在地球两侧产生的潮汐力叠加，触发大潮；当日地连线和地月连线互相垂直时，当太阳的潮汐作用抵消了一部分的月球的潮汐作用，导致小潮³。

前面推导的潮汐加速度的公式，也能定性地说明为什么很难看到湖泊和池塘会有明显的潮汐现象。如果我们考察的对象不再是整个地球，而是一小片水域，则对应的 \(r\) 大致在 \(10^2 \sim 10^3 \text{ m}\) 的数量级，比地球半径相比小了 \(4\sim5\) 个数量级，因此小水域内的潮汐作用就变得微乎其微了。

洛希极限

如果你是因为洛希极限点进来看这篇文章的，我要为你能坚持到这里还没有退出去献上一点掌声。我们终于准备开始扯一扯洛希极限了。

设想一堆漂浮在星际空间中的碎渣渣，靠着相互引力的作用，它们有机会聚到一起，形成一个像模像样的小质量天体。如果碎渣渣们的周围存在一个大质量天体，它对形成小天体的这些物质的潮汐力是如此之强，原本有望形成小天体的渣渣们之间的引力不足以对抗潮汐拉扯作用，那么本可以形成小天体的物质就会分崩离析⁴。

更有甚者，比如谁家的迷途的小不点卫星跑到了某个大行星附近，强大的潮汐力甚至可以把原本已经成型的小卫星给撕裂⁵。显然，可怜的小天体要足够靠近大天体才会被肢解，发生这种毁灭性场景存在一个临界距离。1850年前后，法国天文学家 Édouard Albert Roche 在试图解释土星是如何形成绚丽的行星环时，就提出了土星的潮汐力可以把一个迷途的小卫星给撕碎，这些散出来的碎渣渣继而形成了行星环⁶。为了纪念他的工作，在什么距离内一个靠引力维持自身结构的物体会被潮汐力扯碎掉的临界值就被称为洛希极限⁷（Roche limit）。

我们用最简单的模型来试着给一个估计。考虑构成小质量天体 \(m\) 表面处的一个小渣渣 \(\Delta m\)。当周边大质量天体 \(M\) 产生的潮汐力与由小天体施加于 \(\Delta m\) 的引力大小相等时，此时两个天体的间距 \(d\) 即为洛希极限，满足：

\[\frac{2GMr}{d^3}\Delta m = \frac{Gm\Delta m}{r^2}\]

从中可以得到

\[d = r \left(\frac{2M}{m} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 1.26 r \left(\frac{M}{m}\right)^{\frac{1}{3}}\]

进一步假设两个天体都是质量密度均匀分布的球体，则

\[\frac{M}{m} = \frac{\rho_M \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{\rho_m \cdot \frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{\rho_M R^3}{\rho_m r^3}\]

于是洛希极限可以由产生潮汐作用的天体的半径 \(R\) 以及两个天体的相对密度给出：

\[d \approx 1.26 R \left(\frac{\rho_M}{\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}\]

注意在推导过程中，我们全程把天体作为硬邦邦的球体来处理，刚体（rigid body）模型自然给计算带来了很多的便利。但是受到潮汐作用的天体完全可能发生拉伸形变，变得更易碎裂，因此更加严谨一点应当把天体作为流体（fluid）来处理。

当然，一旦涉及到流体的受力分析，问题的复杂度就大大增加了。基于流体静力平衡的分析，洛希极限为：

\[d \approx 2.42 R \left(\frac{\rho_M}{\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}\]

与刚体模型相比，两种结果之间差了一个近两倍的数值因子。由于大部分天体既不是完全流体也不是完全刚体，实际的洛希极限会在这两个界限之间。

Footnotes