分析力学读书笔记：阻尼振子的 Lagrangian
这篇读书笔记是受 Herbert Goldstein 的经典力学第2章的一个习题的启发，瞎算一通再瞎写一通。
嗯，对阻尼振动奇怪的理解又增加了。
考虑如下的 Lagrangian：
\[L(x,\dot{x}) = \mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{m}} \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2\right) \tag{1}\]\(L(x,\dot{x})\) 关于 \(x\) 和 \(\dot{x}\) 的偏微分分别为：
\[\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} &= \mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{m}}\cdot m\dot{x} \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} &= -\mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{m}}\cdot kx \end{aligned}\]利用 Euler-Lagrange 方程 \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial {x}}=0\)，可以得出关于 \(x\) 的运动方程：
\[\mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{m}} \left( m\ddot{x} + \gamma \dot{x} +kx\right) = 0\]由于 \(\mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{m}}>0\)，因此上面的运动方程相当于
\[m\ddot{x} = - \gamma \dot{x} -kx \tag{2}\]这可以被视作一个受阻力影响的简谐振子。其中，\(-kx\) 可以视为和位移大小成正比的回复力，\(-\gamma\dot{x}\) 可以理解为作用在振子上的阻力，其大小和运动速度成正比，并且在运动的反方向上作用。
比较有意思的是，\((1)\) 式给出的 Lagrangian 并没有引入耗散函数，但运动方程却描述了一个受到阻力影响的振动物体。
我们还可以对 \((1)\) 式给出的 Lagrangian 作进一步的操作。可以证明，如果进行形如 \(s=s(x)\) 的坐标变换，则以坐标 \(s\) 形式写出的 Lagrangian 一样可以通过相同形式的 Euler-Lagrange 方程导出正确的运动方程。具体地，如果我们设 \(s=\mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{2m}}x\)，则有 \(x=\mathrm{e}^{-\frac{\gamma t}{2m}} s\) 及 \(\dot{x}=\mathrm{e}^{-\frac{\gamma t}{2m}} \left( \dot{s} - \frac{\gamma}{2m}s\right)\)。于是体系的 Lagrangian 可以改写成：
\[L(s,\dot{s}) = \frac{1}{2}m\left( \dot{s} -\frac{\gamma}{2m}s\right) ^2-\frac{1}{2}ks^2 \tag{3}\]\(L(s,\dot{s})\) 关于 \(s\) 和 \(\dot{s}\) 的偏微分分别为：
\[\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \dot{s}} &= m\left( \dot{s} -\frac{\gamma}{2m}s\right) = m\dot{s} - \frac{\gamma}{2}s\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{s}} &= -\frac{\gamma}{2}\left( \dot{s} -\frac{\gamma}{2m}s\right)-ks = -\frac{\gamma}{2} \dot{s} - \left( k-\frac{\gamma^2}{4m}\right)s \end{aligned}\]套进 Euler-Lagrange 方程 \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{s}} - \frac{\partial L}{\partial {s}}=0\) 将得到：
\[m\ddot{s} + \left( k-\frac{\gamma^2}{4m}\right)s = 0 \tag{4}\]与 \((2)\) 式相比，\((4)\) 式的形式上更为简单：它少掉了一个 \(\dot{s}\) 的一阶项，以至于直接变成了一个理想的简谐振子的运动方程。这个方程的解就是简单的三角函数。不难验证，这个二阶微分方程的解可以取作：
\[s(t) = s_0 \sin\left( \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^2}{4m^2}}\cdot t + \phi \right) \tag{5}\]相位常数 \(\phi\) 应由初始条件决定，但为了讨论方便，我们粗暴设 \(\phi=0\)。逆变换回到坐标 \(x\)，立即得到：
\[x(t) = s_0 \mathrm{e}^{-\frac{\gamma t}{2m}} \sin\left( \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^2}{4m^2}}\cdot t\right) \tag{6}\]可以验证上式确实可以满足 \((3)\) 式的运动方程。当然，\((3)\) 式并不是一个很难解的二阶微分方程，直接解也是很常规的操作。我们现在取的这个特殊的解，其实对应的是一种特殊的初始条件。不难看出，这个初始条件相当于在 \(t=0\) 时刻振子以某个不为零的初速度 \(v_0\) 正好通过平衡位置 \(x=0\) 处，而方程的解中的振幅项 \(s_0\) 需满足 \(v_0 = s_0 \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^2}{4m^2}}\)
回到 Lagrangian 的讨论。我们可以注意到对比于开始给出的 \(x\) 坐标下的 Lagrangian，\(s\) 坐标下的 Lagrangian 不再显含时间 \(t\)。这意味着前方即将发现这个振动体系的一个守恒量——体系的 Hamiltonian 会是守恒的。它原先在 \(x\) 坐标下躲得挺好，而切换到 \(s\) 坐标下我们就能更精准地捕捉到它。我们可以算出体系的 Hamiltonian：
\[\begin{aligned} H(s,\dot{s}) &= \dot{s}\frac{\partial L}{\partial \dot{s}}-L \\ &= m\dot{s} \left( \dot{s} -\frac{\gamma}{2m}s\right) - \frac{1}{2}m\left( \dot{s} + \frac{\gamma}{2m}s\right) ^2-\frac{1}{2}ks^2 \\ &= \frac{1}{2}m \dot{s}^2 + \frac{1}{2}\left(k-\frac{\gamma^2}{4m}\right)s^2 \end{aligned}\]这个守恒量看起来有点像一个动能项加上一个势能项。切换回 \(x\) 坐标，我们有：
\[\begin{aligned} H &= \frac{1}{2}m \left[ \mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{2m}} \left( \dot{x} + \frac{\gamma}{2m}x\right) \right]^2 + \frac{1}{2}\left(k-\frac{\gamma^2}{4m}\right) \left( \mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{2m}} x \right)^2 \\ &= \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}\gamma x \dot{x} \right) \mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{m}} \end{aligned}\]这样一个守恒量直接在 \(x\) 坐标下恐怕是挺难被发现的。我们当然也可以头铁地验证一波，把 \((6)\) 式中 \(x(t)\) 的解的具体形式代进来爆算一通，神奇地消除、合并掉一堆三角函数项后，可以验证：
\[H=\left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}\gamma x \dot{x} \right) \mathrm{e}^{\frac{\gamma t}{m}} = \frac{1}{2}\left( k-\frac{\gamma^2}{4m}\right) s_0^2\]它确实是一个常数。
在阻尼趋于零的完全理想情况下，即当 \(\gamma\to0\) 时，可以看到此时 \(H= \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2\) 就是理想简谐振子的总能量（包含动能和势能两部分），而且总能量是不随时间改变的，体系的 \((x,\dot{x})\) 随时间演化的相图是一个封闭的正椭圆。
但是，我们现在的 Lagrangian 的写法并不是常规的 \(L(x,\dot{x})=T-V\)，它给出的 Hamiltonian 也并不能简单地就当作能量。我们只能从能量的角度来试着理解它的行为。注意到括号中的项 \(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}\gamma x \dot{x}\) 表现得有点像体系的总能量，就是多出来了一个 \(\frac{1}{2}\gamma x \dot{x}\) 的交叉项，正是在有阻尼情况下才出现的额外的项，这会让体系的相图从一个正椭圆变成一个歪椭圆。如果我们把这一堆的总和姑且视作总能量，那么当有阻尼时，体系的总能量要乘上一个随时间指数增长的因子才是常数，这意味着体系的总能量在随时间作指数衰减，逐渐降为零，而体系的 \((x,\dot{x})\) 随时间演化的相图大约是沿着不断缩小的斜椭圆轨道慢慢趋近于 \((x,\dot{x})=(0,0)\) 的原点。
Reference
Herbert Goldstein, CharlesPoole, & John Safko, Classical Mechanics (3rd Edition) (2001), Exercise 2.16