2020 STEP II Q2 —— 夹逼思想画隐函数图像

本篇的问题来自于 2020 STEP II 数学考试中的第2题。这个问题要求画出两个经过特殊设计的隐函数的图像，其中利用到的夹逼的思想非常巧妙。

STEP (Sixth Term Examination Paper) 是英国剑桥考试中心为本科申请者提供的数学专项考试，通常会是剑桥、帝国理工、伦敦大学、华威等名校的数学、计算机、工程等专业的录取要求之一。每年都会有一些非常精彩的考题，我在此挑选一些个人喜欢的考题作分享。

问题摘要

曲线 \(C_1\) 与 \(C_2\) 满足微分方程：

\[\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x} = \frac{kxy-y}{x-kxy}\]

其中 \(k=\ln 2\)。

\(C_1\) 上任意点的 \(x\) 坐标和 \(y\) 坐标都为正数，并且 \(C_1\) 经过点 \((1,1)\)。\(C_2\) 上任意点的 \(x\) 坐标和 \(y\) 坐标都为负数，并且 \(C_2\) 经过点 \((-1,-1)\)。

找出 \(C_1\) 及 \(C_2\) 的方程，并作出 \(C_1\) 和 \(C_2\) 的图像。

解答

先从 \(C_1\) 和 \(C_2\) 共同满足的微分方程入手。这个微分方程稍作变形后，即可通过分离变量、再两边积分的方法来处理。

\[\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x} = \frac{kxy-y}{x-kxy} = \frac{k-\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}-k} \\ & \left( k - \frac{1}{x} \right) \mathrm{d}x = \left( \frac{1}{y} - k \right) \mathrm{d}y \\ & \int\left( k - \frac{1}{x} \right) \mathrm{d}x = \int \left( \frac{1}{y} - k \right) \mathrm{d}y \\ & kx - \ln x = \ln y - ky + K \\ & k(x+y) = \ln(xy) + K \end{aligned}\]

其中 \(K\) 为待定的积分常数。引入 \(M=\mathrm{e}^K\) 即 \(K=\ln M\)，并代入 \(k=\ln 2\)，我们可以得到

\[\begin{aligned} & (x+y) \ln 2 = \ln(xy) + \ln M \\ & \ln 2^{x+y} = \ln (Mxy) \\ & 2^{x+y} = Mxy \end{aligned}\]

\(C_1\) 和 \(C_2\) 分别经过点 \((1,1)\) 和 \((-1,-1)\)，于是对于 \(C_1\) 有 \(2^{\pm2} = M_1\times1\)，故 \(M_1=4\) 及 \(M_2 = \frac{1}{4}\)。我们由此得到两条曲线的方程：

\[\begin{aligned} C_1: \quad & 2^{x+y} = 4xy & (x,y>0)\\ C_2: \quad & 2^{x+y} = \frac{1}{4}xy & \quad (x,y<0) \end{aligned}\]

显然 \(C_1\) 与 \(C_2\) 的方程都具有 \(x\) 与 \(y\) 的交换对称性，因此这两条曲线都关于直线 \(y=x\) 对称。

为了作出更准确的图像，我们还需要更多相关的信息。而接下来要进行的操作可以说是这个问题设计最精彩的部分。

注意到 \(4xy = (x+y)^2 - (x-y)^2\)，上述方程可以改写成如下的形式：

\[\begin{aligned} C_1: \quad & (x-y)^2 = (x+y)^2 - 2^{x+y} & (x,y>0) \\ C_2: \quad & (x-y)^2 = (x+y)^2 - 16\times2^{x+y} & (x,y<0) \end{aligned}\]

先来对付 \(C_1\)。我们考察辅助函数 \(f(t) = t^2\) 以及 \(g(t) = 2^t\)。不难同时作出它们的图像。

从图中立即可以看出并验证，\(f(t)=t^2\) 与 \(g(t)=2^t\) 在 \(t\geq0\) 时有两个交点，分别是 \((2,4)\) 和 \((4,16)\)。当且仅当 \(2\leq t \leq 4\) 时，有 \(t^2 \geq 2^t\)。

回到 \(C_1\) 的方程。注意到左边的完全平方项，有 \((x+y)^2 - 2^{x+y} = (x-y)^2 \geq 0\)。

根据题意，\(C_1\) 上任意点的坐标 \(x,y>0\)，于是 \(x+y>0\)，根据之前利用辅助函数得到的结论，必须有 \(2\leq x+y\leq 4\)。这说明 \(C_1\) 必须夹在直线 \(x+y=2\) 与直线 \(x+y=4\) 之间。

当 \(x+y=2\) 或 \(x+y=4\) 时，\((x-y)^2=0\)，容易找到对应的解为 \(x=y=1\) 即 \(x=y=2\)，即 \(C_1\) 会经过特殊点 \((1,1)\) 和 \((2,2)\)。其中 \(C_1\) 过点 \((1,1)\) 其实就是题目一开始就已经给出的已知条件。

结合以上分析得来的信息，我们可以画出 \(C_1\) 曲线如图：

类似地对付 \(C_2\)。我们可以考察辅助函数 \(f(t) = t^2\) 以及 \(g(t) = 16\times2^t\)。作出图像后，也不难看出它们在 \(t\leq0\) 时有唯一的交点 \((-2, 4)\)。当 \(-\infty < t \leq -2\) 时，有 \(t^2 \geq 16 \times 2^t\)。

同样的道理，回到 \(C_2\) 的方程：\((x+y)^2 - 16\times2^{x+y} = (x-y)^2 \geq 0\)，现在 \(x,y<0\)，即 \(x+y<0\)，根据辅助函数给出的结论，必须有 \(x+y\leq -2\)。这说明 \(C_2\) 只能位于直线 \(x+y=-2\) 的下方。

当 \(x+y=-2\) 时，\((x-y)^2=0\)，可以解出此时 \(x=y=-1\)，这其实只是重新验证了题中给出的已知条件：\(C_2\) 会过特殊点 \((-1,-1)\)。

最后，再留意 \(C_2\) 的另一个方程形式：\(2^{x+y} = \frac{1}{4}xy\)。当 \(x\to-\infty\) 时，\(2^{x+y}\to0\)，对应有 \(y\to0\)；类似地，当 \(y\to-\infty\) 时，\(2^{x+y}\to0\)，对应有 \(x\to0\)。所以 \(C_2\) 会有渐近线 \(y=0\) 和 \(x=0\)。

如此这般，我们也可以画出 \(C_2\) 曲线：