简谐振动之运动方程推导
简谐振动
在 A-Level 物理课程中，简谐振动是一个很重要的知识点。根据定义，凡是加速度和偏离平衡位置的位移之间有大小成正比、方向相反关系的运动，就被称作为简谐振动（simple harmonic oscillation）。这个定义可以写成一个简单明了的方程式：
\[\boxed{a = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -\omega^2 x}\]给定初始条件，就可以解出位移随时间变化的函数关系，通常会被表示为如下的形式：
\[\boxed{x(t) = x_0 \cos (\omega t + \phi)}\]从定义式直接省略 3000 字跳到这个通解，你只需要三件东西：一个懒得跟你多废话的物理老师，一本觉得跟你扯闲话就能把你整明白的物理教材，以及对必要的推导过程不作要求的考试大纲。
下面我们将会看到，想要推导简谐振子的运动方程，其实你需要的只是一些非常基础的数学知识。好叻，我们开始推倒推导吧！
解法一：二阶微分方程标准解法
注意到微分方程 \(\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 x = 0\) 的形式，\(x(t)\) 的二阶导数跟它自己依然有能力同归于尽，对它求了两次导数之后，它音容犹在，我们能想到的具有这个性质的，便是我们在小学四年级就学到过的指数函数了。于是我们可以猜想方程的解会具有形如 \(\mathrm{e}^{\lambda t}\) 的形式。容易验证，将 \(x(t) = A\mathrm{e}^{\lambda t}\) 代入原方程中可以得到：
\[A \mathrm{e}^{\lambda t} (\lambda^2 + \omega^2) = 0\]于是待定系数 \(\lambda\) 有两个可取的值： \(\lambda = \pm i \omega\)
符合原方程的通解现在可以写作：
\[\boxed{ x(t) = A_1 \mathrm{e}^{i\omega t} + A_2 \mathrm{e}^{-i\omega t} }\]\(A_1\), \(A_2\) 可以是任意常数，甚至可以是复数（complex number）。目前看起来有点大事不妙，好好的一个位移函数现在被搞成了一个复数函数（complex function）。不过没什么可怕的，毕竟复数函数是我们在小学三年级时就已经学过的基础数学知识。我们知道，这个位移只有取实数值才有物理意义。我们限定 \(x(t)\) 在任意时刻都是实数，那么 \(x(t)\) 的复共轭（complex conjugate）与它自身相等，即 \(x^* = x\)：
\[A_1^* \mathrm{e}^{-i\omega t} + A_2^* \mathrm{e}^{i\omega t} = A_1 \mathrm{e}^{i\omega t} + A_2 \mathrm{e}^{-i\omega t}\]由此得到两个常系数之间满足关系：\(\boxed{A_2 = A_1^*}\)
我们不妨重新将常数写作：\(A_1 = r\mathrm{e}^{i\phi}\)，以及 \(A_2 = r \mathrm{e}^{-i\phi}\) 于是通解可以被进一步写成如下的形式：
\[x(t) = r \mathrm{e}^{i(\omega t+\phi)} + r \mathrm{e}^{-i(\omega t+\phi)}\] \[x(t) = r\left[\mathrm{e}^{i(\omega t+\phi)} + \mathrm{e}^{-i(\omega t+\phi)}\right]\]利用我们小学五年级就熟悉的欧拉公式：\(\mathrm{e}^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta\)，我们很容易发现：
\[\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta} = 2\cos\theta\]如果我们重新定义新的常数 \(x_0 = 2r\)，那么最终得到：
\[\boxed{x(t) = x_0 \cos(\omega t + \phi)} \quad \text{Q.E.D.}\]解法二：利用运动学公式作积分变换
利用小学三年级的科学课堂里大家已经知道的位移、速度、加速度的关系，以及非常基础的链式求导法则（chain rule），我们就可以得到：
\[a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\] \[\Rightarrow \quad \boxed{ a = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(v^2) }\]代入简谐振子的定义公式 \(a = -\omega^2 x\) 中，我们有：
\[\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(v^2) = -\omega^2 x\] \[\mathrm{d}(v^2) = -2\omega^2 x \mathrm{d}x\]两边积分，可以得到关于速度 \(v\) 的一个表达式：\(v^2 = -\omega^2 x^2 + K\)，其中 \(K\) 是一个积分常数，它的值由简谐振子的初始运动状态决定。不难想到，通过引入一个新的常数 \(x_0\)，就可以将 \(K\) 写作 \(\omega^2 x_0^2\)，这样速度 \(v\) 就可以写成：
\[\boxed{ v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \omega \sqrt{x_0^2 - x^2} }\]我们要面对的方程，已经降次变成了一个 \(x\) 关于 \(t\) 的一阶微分方程。想必大家在小学六年级时早就对这类方程的解法烂熟于胸，我们可以分离变量，再两边积分。
\[\int \omega \mathrm{d}t = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}\]左边的积分是你上幼儿园的弟弟都知道怎么做的，结果就是 \(\omega t\)。右边的积分略有些技术含量，似乎要用到一些到了初中才会学到的积分换元法。
用三角换元，令 \(x=x_0 \cos \theta\)，那么 \(\sqrt{x_0^2 - x^2} = x_0 \sin\theta\)，以及，\(\mathrm{d}x = -x_0 \sin\theta \mathrm{d} \theta\)。通通丢回积分里边去，
\[\omega t = \int \frac{-x_0 \sin\theta \mathrm{d}\theta}{x_0 \sin\theta} = - \int \mathrm{d}\theta\] \[\Rightarrow \quad \omega t = -\theta + L\]其中 \(L\) 为积分常数，取值同样由初始条件决定。作逆变换回归到位移 \(x\) 上，我们发现：
\[x = x_0 \cos \theta = x_0 \cos (-\omega t + L)\]我们重新定义常数 \(\phi = -L\)，并且注意到幼儿园就学过的 cosine 函数的偶函数性质，上面的解可以最终写成如下更为人所熟知的形式：
\[\boxed{x(t) = x_0 \cos(\omega t + \phi)} \quad \text{Q.E.D.}\]