受迫阻尼振动与共振
这大约是关于振动问题的系列文章的最后一篇了，我打算来解决如下的问题：
如果一个简谐振子同时受到阻力和一个周期性的驱动力的作用，那么它会做怎样的运动？更进一步的问，它振动的振幅和相位与施加的驱动力会有怎样的关系？
我们就此问题试着来推导一波。
运动方程的建立
开门第一件事，先建立运动方程。
假定振子一开始静置于平衡位置，从 \(t=0\) 时刻起施加的驱动力为 \(F(t) = F_0\cos\omega t\)，运动过程中受到的阻力正比于速度大小 \(f_R = \alpha v\)，由此可以写下运动方程：
\[m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -m\omega_0^2 x - \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + F_0 \cos\omega t\]式中 \(m\omega_0^2x\) 代表简谐振子自身的回复力，其大小正比于位移 \(x\)，方向与 \(x\) 相反，故带有负号；阻力与运动速度反向，故也带负号。如果我们引入新的参数：\(\beta = \frac{\alpha}{2m}\)，及 \(f = \frac{F_0}{m}\)，则运动方程可以被改写为：
\[\boxed{ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\beta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = f \cos\omega t } \quad (\#)\]方程求解
这是一个二阶常系数的非齐次微分方程。在前几篇关于简谐振子的文章中，我们已经对这类方程的求解方法做过基本介绍。我们可以分别找出齐次方程的通解，并于非齐次方程的特解叠加，最后根据初始条件确定可调的系数，得到问题的唯一解。
注意到之前解振动方程，我们可以让位移函数 \(x(t)\) 取复数值，然后通过施加具有物理意义的限定条件，最终得到实数的解。拓展到复数领域后，指数函数有诸多友好的性质可以帮助我们简化计算。为了对付现在的这个问题，我们也采取进入到复数域中去求解的策略。不妨假定我们要求的位移函数 \(x(t)\) 是某个复数函数 \(\tilde{x}(t)\) 的实部，然后注意到 \(f\cos\omega t\) 就是 \(f\mathrm{e}^{i\omega t}\) 的实部。所以我们可以试着来求解方程：
\[\boxed{ \frac{\mathrm{d}^2\tilde{x}}{\mathrm{d}t^2} + 2\beta \frac{\mathrm{d}\tilde{x}}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 \tilde{x} = f\mathrm{e}^{i\omega t} } \quad (*)\]解出 \(\tilde{x}(t)\)，取其实部，就可以得到真正的位移函数 \(x(t)\) 了。为了方便，下面求解(*)式的过程中，对 \(\tilde{x}\) 和 \(x\) 我们不作符号上的区分，只是在最终结果中才特别标注。但大家要记得最后求的(*)式的解，必须要取实部才有物理意义。
首先处理齐次方程：\(\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\beta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = 0\)。
注意到这个方程描述的其实就是一个不受驱动力、但是受到阻力作用的简谐振动，我们在《无阻尼受迫振动》 一文中，对这个方程的求解已经有了很详细的讨论，我们在此仅仅列出大致的推导框架。
齐次方程的通解仍将具有 \(\mathrm{e}^{\lambda t}\) 的形式，代入后可以得到关于 \(\lambda\) 的特征方程：\(\lambda^2 + 2\beta\lambda + \omega_0^2 = 0\)。
如果阻尼不是很强，即欠阻尼振动，此时 \(\beta < \omega_0\)，特征方程的根将是复数：\(\lambda = -\beta \pm i\omega'\)，其中我们定义 \(\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}\)。于是我们找到齐次方程通解为
\[\tilde{x}_c(t) = \mathrm{e}^{-\beta t}\left( A_1 \mathrm{e}^{i\omega't} + A_2 \mathrm{e}^{-i\omega't}\right)\]其中 \(A_1, A_2\) 为任意常数，并且可以取复数。
取 \(\tilde{x}_c(t)\) 实部，并重新定义一系列新的常数，可以得到
\[\boxed{x_c(t) = x_0\mathrm{e}^{-\beta t} \cos(\omega't + \phi)}\]常数 \(x_0\) 和 \(\phi\) 的取值都将由振动的初始条件决定。但是注意到式子中的 \(\mathrm{e}^{-\beta t}\) 项，这告诉我们 \(x_c(t)\) 对总位移的贡献会随时间指数衰减。在充分长的时间后，这一项的贡献就可以忽略不计。
如果阻尼足够强，即过阻尼振动，此时 \(\beta>\omega_0\)，特征方程的根为 \(\lambda = -\beta \pm \sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\)，两者皆为复数。于是过阻尼情况下，位移函数随时间作指数衰减：
\[\boxed{x_c(t) = A_1 \mathrm{e}^{-\lambda_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{-\lambda_2 t} }\]所以不论是欠阻尼还是过阻尼，都存在随时间指数衰减的因子，受迫阻尼振动更有意思的物理结果，其实都藏在非齐次方程的特解中。
我们接下来求解非齐次方程：\(\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\beta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = f\mathrm{e}^{i\omega t}\)
可以猜想特解将具有 \(x_p(t) = K\mathrm{e}^{i\omega t}\) 的形式，代入上式中，我们得到：
\[(-\omega^2 + 2\beta \omega i + \omega_0^2) K\mathrm{e}^{i\omega t} = f\mathrm{e}^{i\omega t}\]这要对任何 \(t\) 都成立，所以必然有：\(K = \frac{f}{-\omega^2 + 2\beta \omega i + \omega_0^2}\)。于是特解就是：
\[\tilde{x}_p(t) = \frac{f}{-\omega^2 + 2\beta \omega i + \omega_0^2}\mathrm{e}^{i\omega t}\]为了提取实部，我们先对分母有理化：
\[\tilde{x}_p(t) = \frac{f(\omega_0^2-\omega^2-2\beta\omega i)}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} \mathrm{e}^{i\omega t}\]这一大坨东西的实部为：
\[x_p(t) = \frac{f}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} \left[ (\omega_0^2-\omega^2)\cos\omega t + 2\beta \omega \sin\omega t \right]\]运用三角函数辅助角公式，方括号里的部分可以写成：\(\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2 } \cos(\omega t - \psi)\)，其中相位角 \(\psi\) 满足 \(\cos\psi = \frac{\omega_0^2-\omega^2}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} }\)，以及 \(\sin\psi = \frac{2\beta\omega}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} }\)（关于相位差的问题我们稍后作详细讨论）。将这些结果塞回 \(x_p(t)\) 的表达式中，我们得到：
\[\boxed{ x_p(t) = \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} } \cos(\omega t - \psi) }\]综合齐次方程的通解和非齐次方程的特解，原运动方程的解将是 \(x(t) = x_c + x_p\)。具体写开，对于欠阻尼和过阻尼这两种情况，位移函数的形式分别为：
\[x(t) = x_0\mathrm{e}^{-\beta t} \cos(\omega't + \phi) + \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} } \cos(\omega t - \psi)\]或
\[x(t) = A_1 \mathrm{e}^{-\lambda_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{-\lambda_2 t} + \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} } \cos(\omega t - \psi)\]第一项描述振子在自身回复力和阻尼的共同作用下的振动行为，而第二项则是振子在外界驱动力作用下的受迫振动行为。考虑振子的长期行为，即考虑 \(t\to\infty\) 的极限，由于阻尼的影响，第一项都终将趋于零，因此受迫振动最终将非常敏感地取决于外力的性质：
\[\boxed{ x(t) \sim \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} } \cos(\omega t - \psi) }\]共振频率
容易看出，施加的驱动力频率不同，振子会有不同的振幅响应。受迫振动的振幅 \(A\) 是驱动力频率 \(\omega\) 的函数：
\[\boxed{ A(\omega) = \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} } }\]为了考察 \(A(\omega)\) 的极值，我们可以把它分母上那个根式下面的一大坨拖出来，看看能搞出什么名堂：
\[\begin{aligned} (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2 &= \omega^4 - 2(\omega_0^2 - 2\beta^2) \omega^2 + \omega_0^4 \\ &= \Big[ \omega^2 - (\omega_0^2 - 2\beta^2) \Big]^2 + \omega_0^4 - (\omega_0^2 - 2\beta^2)^2 \\ & = \Big[ \omega^2 - (\omega_0^2 - 2\beta^2) \Big]^2 + 4\beta^2(\omega_0^2-\beta^2) \end{aligned}\]显然，若 \(2\beta^2 < \omega_0^2\)，则这坨东西在 \(\omega = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}\) 时会有最小值，此时振幅 \(A(\omega)\) 则将有最大值。也就是说，在阻尼并不强时，可以在某个特定驱动力频率下获得最大振幅，对应的共振频率为：
\[\boxed{ \omega_\text{res} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} }\]注意到，共振频率 \(\omega_\text{res}<\omega_0\)，即共振在在驱动力频率略小于简谐振子自然频率时发生，具体的偏差会取决于 \(\beta\) 的大小，即阻尼的强度会决定共振频率和自然频率的偏差量。
若 \(2\beta^2 > \omega_0^2\)，\(A(\omega)\) 分母上那坨东西会随 \(\omega\) 增加而单调递增，也就是说，阻尼比较大时，驱动力频率越大，振幅就会越小。由此看到，过阻尼的情形下，振子将不会出现共振的行为。
共振振幅
当共振发生时，我们可以计算对应的振幅大小：
\[A_\text{res} = \frac{f}{2\beta\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}\]不难论证，在可以发生共振的阻尼条件下（ \(2\beta^2 < \omega_0^2\)），阻尼越弱，共振的振幅就越大。
我们可以将不同 \(\beta\) 对应的 \(A(\omega)\) 曲线绘制在同一张图上。图中可以直观地看到阻尼对共振频率以及振幅的影响。
受迫振动的相位
注意到振子的位移有 \(x(t)\sim \cos(\omega t-\psi)\)，驱动力则有 \(F(t)\sim\cos\omega t\)。对比可知，振子的运动将会较驱动力有大小为 \(\psi\) 的相位滞后。更精确的讲，相位差 \(\psi\) 满足：
\[\cos\psi = \frac{\omega_0^2-\omega^2}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} }\] \[\sin \psi = \frac{2\beta\omega}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2} }\]合并以上两式可以得到
\[\boxed{ \tan\psi = \frac{2\beta\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} }\]注意 \(\cos\psi\) 和 \(\sin\psi\) 可取的符号，我们有如下结论：
若 \(\omega < \omega_0\)，则 \(0<\psi <\frac{\pi}{2}\)，意味着振子的振动稍稍落后于驱动力的变化。
若 \(\omega > \omega_0\)，则 \(\frac{\pi}{2} < \psi < \pi\)，意味着振子的振动相比于驱动力的变化会有更大的滞后。
物理图像也不难想象：对于低频的驱动，振子在自己的回复力作用下其实还期望走得更快一点，可以很容易地就跟上驱动力，紧随其后。对于高频的驱动，振子就跟不上节奏，提着裤子猛追都追不上。
对于不同 \(\beta\) 的取值，即不同阻尼约束下，我们也可以把相位差和驱动力频率的关系绘制在图像上。
不难看出，在 \(\omega=\omega_0\) 时，总会有 \(\psi=\frac{\pi}{2}\) 的滞后。
另外，在 \(\omega\to 0\) 时，\(\psi \to 0\)，极低频的驱动力作用下，振子的振动可以和驱动力几乎完全同步；在 \(\omega\to\infty\) 时，\(\psi \to \pi\)，极高频的驱动力作用下，振子的振动和驱动力几乎完全反相。
几个特殊极限的讨论
我们已经知道欠阻尼情形下的共振频率为 \(\omega_\text{res} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}\)。当 \(\beta \to 0\) 时，有 \(\omega_\text{res}\to \omega_0\)，即趋向零阻尼的理想条件时，共振将会在驱动力频率等于自然频率时发生。而对于振子的相位滞后，容易验证，在趋于零阻尼时，有驱动频率低于 \(\omega_0\) 时趋于同相、驱动频率高于 \(\omega_0\) 时反相的结论，这些与我们在上一篇对无阻尼受迫振动推导给出的结果吻合。
如果我们取 \(\omega\to\infty\) 的极限，可以发现 \(A\to 0\)。这说明在驱动力频率非常大的情况下，相对慢节奏的振子完全迷失了方向，才打算跟着驱动力往正方向迈一步，驱动力转眼就开始反方向作用了，结果就是振子只会原地踏步，不产生位移。
我们还可以分析 \(\omega\to0\) 的极限，此时驱动力 \(F = F_0\) 为一个恒定力。代入 \(A(\omega)\) 的表达式中，我们得到此时的振幅为 \(A\to\frac{f}{\omega_0^2}=\frac{F_0}{m\omega_0^2}\)。对应的物理图像是，恒定的外力将振子推到了某个最大位移处，在那里，这个力和振子的回复力达到了平衡，最终达到静态平衡：\(F_0 = m\omega_0^2 A\)。此时振子不作往复运动，阻力不产生作用，因此大家也可以看到，在上面给出的 \(A(\omega)\) 图像中，不论阻尼强度 \(\beta\) 取值如何，在 \(\omega\to0\) 的极限下，它们的振幅都趋于相同的值。