2018 STEP II Q2 —— 利用凹函数性质证明三角不等式

本篇介绍一种求解三角形三个内角的正弦和与正弦积的极值问题的巧妙方法。原题来自于 2018 STEP II 数学考试中的第2题。

STEP (Sixth Term Examination Paper) 是英国剑桥考试中心为本科申请者提供的数学专项考试，通常会是剑桥、帝国理工、伦敦大学、华威等名校的数学、计算机、工程等专业的录取要求之一。每年都会有一些非常精彩的考题，我在此挑选一些个人喜欢的考题作分享。

问题梗概

我们将证明如下结论：如果 \(A, B, C\) 是三角形的三个内角，则以下不等式成立：

\[\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\] \[\sin A \times \sin B \times \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}\]

原题

问题翻译：

如果函数 \(f(x)\) 对任意 \(a<x_1<b\)，\(a<x_2<b\) 以及 \(0\leq t \leq1\) 都满足：

\[tf(x_1)+(1-t)f(x_2) \leq f(tx_1+(1-t)x_2) \quad (*)\]

则 \(f(x)\) 被称作在区间 \(a<x<b\) 上的凹函数（concave function）。

(1) 对于 \(x_1<x_2\) 且 \(f(x_1)<f(x_2)\) 的情形，通过图示来说明这个定义的涵义

(2) 证明：如果 \(f(x)\) 是区间 \(a<x<b\) 上的凹函数，则对所有\(a<x<b\) 有 \(f''(x)<0\)

(3) 证明：如果 \(f(x)\) 是区间 \(a<x<b\) 上的凹函数，则对任意 \(a<u<b\)，\(a<v<b\)，和\(a<w<b\)，有：

\[\displaystyle f\left( \frac{u+v+w}{3}\right) \geq \frac{f(u) + f(v) + f(w)}{3}\]

(4) 证明：如果 \(A\)，\(B\)，\(C\) 是三角形的三个内角，则：

\[\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

(5) 证明：如果 \(A\)，\(B\)，\(C\) 是三角形的三个内角，则：

\[\sin A \times \sin B \times \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}\]

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(1)

\(tx_1+(1-t)x_2\) 代表的意义是区间 \([x_1,x_2]\) 上的一个动点（当 \(t=1\) 时，即为 \(x_1\)；当 \(t=0\) 时，即为 \(x_2\)），我们不妨称之为 \(m\)。

对于区间 \([x_1,x_2]\) 内的任意点 \(m\)，不等式(*)的意义在于：\((m,f(m))\) 必然位于连接 \((x_1,f(x_1))\) 与 \((x_2,f(x_2))\) 的线段的上方。也就是说，连接曲线 \(f(x)\) 上任意两点的线段，曲线 \(f(x)\) 都会处于这条线段的上方。

(2)

令 \(m=tx_1+(1-t)x_2\)，则

\[t(x_1-x_2) = m-x_2\] \[\displaystyle t = \frac{m-x_2}{x_1-x_2} = \frac{x_2-m}{x_2-x_1}\] \[\displaystyle 1 - t = 1 - \frac{x_2 - m}{x_2-x_1} = \frac{m-x_1}{x_2-x_1}\]

将以上 \(t\) 和 \((1-t)\) 的表达式代入(*)式中：

\[\displaystyle \frac{x_2-m}{x_2-x_1} f(x_1) + \frac{m-x_1}{x_2-x_1} f(x_2) \leq f(m)\] \[(x_2 - m)f(x_1) + (m-x_1)f(x_2) \leq (x_2-x_1)f(m)\]

将右边的 \(x_2-x_1\) 拆解成 \(\left[ (x_2-m) + (m-x_1) \right]\)，于是

\[(m-x_1)f(x_2) - (m-x_1)f(m) \leq (x_2-m)f(m) - (x_2 - m)f(x_1)\] \[(m-x_1)[f(x_2)-f(m)] \leq (x_2 - m) [f(m) - f(x_1)])\] \[\displaystyle \boxed{ \frac{f(x_2)-f(m)}{x_2-m} \leq \frac{f(m)-f(x_1)}{m-x_1} }\]

当 \(x_2-x_1\to 0\) 时，上式变成：\(f'(x_2)\leq f'(x_1)\)

因此若 \(f(x)\) 在其定义域上是凹函数，则 \(\boxed{f''(x)\leq 0}\)

这个性质也很容易通过函数图像来理解：\(f(x)\) 曲线的斜率必须不断减少，于是其斜率的变化率必须为负，即二阶导数为负。

(3)

\[\begin{aligned} f\left( \frac{u+v+w}{3}\right) & = f\left(\frac{1}{3}u + \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}(v+w) \right) \\& \geq \frac{1}{3}f(u) + \frac{2}{3}f\left( \frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w \right)\\ &\geq \frac{1}{3}f(u) + \frac{2}{3}\left[ \frac{1}{2}f(v) + \frac{1}{2}f(w) \right]\\ &= \frac{f(u) + f(v) + f(w)}{3} \\ & \end{aligned}\]

上面的推导中，我们两次利用了(*)式，分别对应于两个不等号，由此得证。

(4)

取 \(f(x) = \sin x\)，则：

\[f'(x)=\cos x\] \[f''(x)=-\sin x\]

若 \(x\) 是三角形内角，则有 \(0<x<\pi\)，该定义域上 \(\sin x>0\)，于是 \(f''(x)<0\)，所以 \(f(x)=\sin x\) 对于 \(0<x<\pi\) 是一个凹函数。

利用第(3)问中证明的结论，我们有：

\[\begin{aligned} \sin A + \sin B + \sin C & \leq 3 \sin \left(\frac{A+B+C}{3} \right) \\ & = 3\sin\frac{\pi}{3} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{3}\end{aligned}\]

(5)

取 \(f(x) = \ln \sin x\)，则：

\[\displaystyle f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\] \[\displaystyle f''(x) = - \csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}\]

容易看出，对于 \(0<x<\pi\)，\(\sin x >0\)，于是 \(f''(x)<0\)，所以 \(f(x)=\ln \sin x\) 对于 \(0<x<\pi\) 也是一个凹函数。

继续利用第(3)问中证明的结论：

\[\begin{aligned} \ln (\sin A \times \sin B \times \sin C) & = \ln \sin A + \ln \sin B + \ln \sin C \\ & \leq 3\ln \sin \left(\frac{A+B+C}{3}\right) \\ &= 3 \ln \sin\frac{\pi}{3} \\ & = 3\ln\frac{\sqrt{3}}{2} \\ & = \ln \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\end{aligned}\]

比较两边，我们得出：

\[\sin A \times \sin B \times \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}\]