2015 STEP II Q1 —— 全体自然数的倒数和、倒数平方和

问题梗概

本篇的问题来自于 2015 STEP II 数学考试中的第1题。

大家应该都熟悉下面的两个结论：

1、全体自然数的倒数和发散

2、全体自然数的倒数平方和收敛

STEP 的这个问题通过引导考生运用微积分技巧，将级数求和的每一项进行合理的放缩。具体问题如下：

1、考察 \(f(x)=x-\ln(1+x)\)，证明：\(\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \ln(n+1)\)

2、考察 \(g(x)=x+\ln(1-x)\)，证明：\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} < 1+\ln2\)

解答

1

注意到对所有 \(x>0\)，\(f(x)=x-\ln(1+x)\) 的导数有

\[f'(x) = 1-\frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}>0\]

另一方面，\(f(0) = 0-\ln 1 = 0\)，因此对任意 \(x>0\)，我们有

\[x - \ln(1+x) >0 \quad \Rightarrow \quad x > \ln(1+x)\]

利用以上结论，我们发现

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} &> \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{1}{k}\right) \\ & = \sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) \\ & = \ln \left( \prod_{k=1}^n \frac{k+1}{k}\right) \\ & = \ln \left( \frac{\cancel{2}}{1} \times \frac{\cancel{3}}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \times \cdots \times \frac{n+1}{\cancel{n}} \right) \\ & = \ln (n+1) \end{aligned}\]

当 \(n\to\infty\) 时，\(\ln(n+1)\to\infty\)，因此 \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\) 必然发散。

2

注意到对所有 \(0<x<1\)，\(g(x)=x+\ln(1-x)\) 的导数有

\[g'(x) = 1-\frac{1}{1-x} = -\frac{x}{1-x}<0\]

另一方面，\(g(0) = 0 + \ln1 = 0\)，因此对任意 \(0<x<1\)，我们有

\[x + \ln(1-x) <0 \quad \Rightarrow \quad x < -\ln(1-x)\]

利用以上结论

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} & = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \\ &< 1 - \sum_{k=2}^n \ln\left(1-\frac{1}{k^2}\right) \\ & = 1 - \sum_{k=2}^n \ln\left[\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}\right] \\ & = 1 - \ln \left[ \prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} \right] \\ & = 1 - \ln \left[ \frac{1\times\cancel{3}}{2\times\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}\times\cancel{4}}{\cancel{3}\times\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}\times\cancel{5}}{\cancel{4}\times\cancel{4}} \times \cdots \times \frac{\cancel{(n-2)}\times \cancel{n}}{\cancel{(n-1)}\times \cancel{(n-1)}} \times \frac{\cancel{(n-1)}\times(n+1)}{\cancel{n}\times n} \right] \\ & = 1 - \ln\frac{1}{2} - \ln \frac{n+1}{n} \\ & = 1 + \ln 2 - \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \end{aligned}\]

当 \(n\to\infty\) 时，\(\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\to0\)，因此

\[\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} < 1+\ln2\]