2012 STEP III Q11 —— $a>g$ 的自由下落运动

本篇的问题中会给出这么一个神奇的模型：当一个物体栓在一根绳子的尾端作自由下落运动时，其加速度可以大于重力加速度 $g$。原题来自于 2012 STEP III 数学考试中的第11题。

STEP (Sixth Term Examination Paper) 是英国剑桥考试中心为本科申请者提供的数学专项考试，通常会是剑桥、帝国理工、伦敦大学、华威等名校的数学、计算机、工程等专业的录取要求之一。每年都会有一些非常精彩的考题，我在此挑选一些个人喜欢的考题作分享。

原题

问题翻译

现有一总长为 $2L$、质量为 $2M$ 的不可拉伸的均匀细绳。绳子的一端固定在点 $P$，另一端连接了一个质量为 $m$ 的质点。初始时刻，将质点拉至点 $P$ 处，细绳则自由悬空在 $P$ 点下方并形成一个折叠。如果此时将质点由静止释放，绳子的右半段会连带质点一起竖直下落（如图所示）

假定绳子有运动的那段的每个部分都与质点以相同的速度下落，并且没有能量损失。当质点下落距离为 $x$（其中 $x<2L$）时，求证质点的速度满足：

\[\displaystyle v^2 = \frac{2gx(mL+ML-\frac{1}{4}Mx)}{mL+ML-\frac{1}{2}Mx}\]

进而求证质点的加速度为：

\[\displaystyle a = g + \frac{Mgx(mL+ML-\frac{1}{4}Mx)}{2(mL+ML-\frac{1}{2}Mx)^2}\]

从而论证质点自释放之后的加速度将大于重力加速度 $g$。

我们先来计算质点掉落 $x$ 的距离后，体系的重力势能相比于初始状态有怎样的变化。

将 $P$ 点视作势能零点。在释放前，折叠的绳子的质心在 $P$ 点下方 $\frac{L}{2}$ 处，因此体系具有的初始重力势能为：

\[E_p (0) = -2Mg\frac{L}{2} = -MgL\]

质点掉落到 $P$ 点以下 $x$ 的距离时，我们将体系的重力势能拆分成几个部分来算。

质点很好处理，此时它的势能是：

\[E_{p,\text{pt}}(x) = -mgx\]

对于绳子的势能，我们分成左右两个部分来计算。

绳子左、右部分长度分别为 $L\pm\frac{x}{2}$，根据均匀绳子单位长度的质量密度，我们可以换算出这两部分各自所具有的质量。另外，如果再找准各部分质心所在位置，就可以去计算它们的重力势能大小了：

\[\begin{aligned} E_{p,\text{left}}(x) &= -\frac{M}{L}\left(L+\frac{x}{2}\right)g\frac{L+\frac{x}{2}}{2} \\ & = -\frac{Mg}{2L}\left(L+\frac{x}{2}\right)^2 \\ &= -\frac{Mg}{2L}\left( L^2 + Lx + \frac{x^2}{4} \right) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} E_{p,\text{right}}(x) &= -\frac{M}{L}\left(L-\frac{x}{2}\right)g\left(x+\frac{L-\frac{x}{2}}{2}\right) \\ & = -\frac{Mg}{2L}\left(L-\frac{x}{2}\right)\left(L+\frac{3x}{2}\right) \\ &= -\frac{Mg}{2L}\left( L^2 + Lx - \frac{3x^2}{4} \right) \end{aligned}\]

将这两部分合并，我们就可以算出绳子现有的重力势能：

\[\begin{aligned} E_{p,\text{rope}} (x) &= -\frac{Mg}{2L}\left( 2L^2 + 2Lx - \frac{x^2}{2} \right) \\ &= -MgL -\frac{Mgx}{L}\left( L - \frac{x}{4} \right) \end{aligned}\]

由此可知下落过程中重力势能的损失为：

\[\begin{aligned} \Delta E_p & = E_p(0) - E_p(x) \\ &= -MgL - \left[ -mgx -MgL -\frac{Mgx}{L}\left( L - \frac{x}{4} \right) \right] \\&= mgx + \frac{Mgx}{L}\left( L - \frac{x}{4} \right) \\ & = \frac{gx}{L}\left( mL + ML - \frac{Mx}{4} \right) \end{aligned}\]

而此时质点和右半部分绳子正在下落，它们拥有的动能为：

\[\begin{aligned} \Delta E_k & = \frac{1}{2} \left[ m + \frac{M}{L}\left(L-\frac{x}{2}\right) \right] v^2 \\ & = \frac{mL+ML-\frac{Mx}{2}}{2L} \times v^2 \end{aligned}\]

假定能量守恒，于是体系重力试能的减少等于动能的增加量，即 $\Delta E_p = \Delta E_k$。由此速度关系：

\[\displaystyle v^2 = \frac{2gx(mL+ML-\frac{1}{4}Mx)}{mL+ML-\frac{1}{2}Mx}\]

要想求出加速度，我们可以从加速度的定义式出发：

\[\displaystyle a =\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\]

注意到 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(v^2) = 2v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$，于是我们可以得到一个关于加速度的计算公式：

\[\displaystyle a = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (v^2)\]

把上面解出的 $v^2$ 的那一堆全部代入进来，就可以开始暴力硬算加速度了（碎碎念，这个计算是真的烦）

\[\begin{aligned} a &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{gx(mL+ML-\frac{1}{4}Mx)}{mL+ML-\frac{1}{2}Mx} \right] \\ & = \frac{g(mL+ML-\frac{1}{4}Mx)}{mL+ML-\frac{1}{2}Mx} - \frac{M}{4} \frac{gx}{mL+ML-\frac{1}{2}Mx} \\ & \hspace{50pt} + \frac{M}{2}\frac{gx(mL+ML-\frac{1}{4}Mx)}{\left(mL+ML-\frac{1}{2}Mx\right)^2} \end{aligned}\]

瞪大眼睛看看上面求导出来的三坨丑陋东西，前两项加起来很神奇地正好给出了重力加速度 $g$。于是最后求出的加速度结果不仅不至于太过丑陋，而且在加速度的表达式中包含了 $g$，我们可以很容易地去跟重力加速度作大小的比较。

\[\begin{aligned} a &= g + \frac{Mgx(mL+ML-\frac{1}{4}Mx)}{2\left(mL+ML-\frac{1}{2}Mx\right)^2}\end{aligned}\]

再瞪大眼睛瞅瞅 $g$ 后面挂着的这一大坨分式。因为 $x<2L$，所以分子中 $mL + ML - \frac{1}{4}Mx > mL >0$。分母又是个完全平方，因此整个分式的值将大于零。由此我们证明了拴在绳上这般下落的质点将全程的加速度都将超过重力加速度。

讨论

从受力分析的角度看，在绳子折叠处，那部分绳子前一瞬间还在下落，下一瞬间马上要刹车定住，这意味着绳子静止悬挂的那部分必然会对下落的那部分施加拉力。因此对质点而言，除了自身重力，还会受到绳子的拉力作用，因此加速度会大于重力加速度。

从能量的角度来分析，质点下落的加速度会大于重力加速度这个结果也不难理解。在下落过程中，质点和绳子的重力势能都在降低，但是绳子下落的那段越过折叠的位置后，速度立即降为零，呈静止悬挂的状态。在这个模型里，绳子好比是个活雷锋，它贡献出了重力势能，但是自身的动能并没有因此增大多少，拴在绳子端点的质点于是成为了受益者，它获得了更多的动能，因此加速度也必然大于自由落体加速度。